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83. Deuxième cas : x — a. — Dans ce cas, les 
termes qui contiennent «;, dans l'expression de F’/(x) qui 
termine le n° 51, peuvent se réunir sous la forme 
COSM(X —a,) sinm(x — = | 
[(e,) — f(x)] [ere 4 
et les deux facteurs s’annulent pour x = tr. 
Supprimons donc ces termes-là dans l’expression 
de F’(x) ainsi que tous les autres termes qui contiennent 
sinmx en facteur et s’annulent pour x —,; 1l reste 
(pour x = 0) : 
F'(x) = cos mx Ÿ (—1) RP AGE 
0 X — 
le point 4; —% étant maintenant exclu de la sommation. 
Le calcul de la limite de cette somme a été fait au n° 30 
et nous donne 
lim F’(x) hf SAN RR AGP TEU 
2 
Donc, quand x est un point ax, F'(x) a pour limite la 
dérivée moyenne. 
Comme conclusion du $ actuel, nous pouvons donc 
déjà énoncer le théorème suivant : 
34. Théorème VWEE, — Si f(x) est une fonction con- 
tinue qui s’annule aux points a et b et qui a une dérivée à 
variation bornée (n° 6), F'(x) converge vers f'(x) en tout point 
où celte dérivée est unique. 
On remarquera, de plus, que la démonstration même 
que nous avons donnée prouve que la convergence est 
uniforme dans tout intervalle intérieur à un autre où f'(x) 
