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41. Expressions de (x) sous forme finie. — 
Nous allons réunir, dans la formule (1), les termes de la 
somme où les valeurs de «x sont congrues (mod. 2x) et 
où f(«) reprend la même valeur. Mais il y a deux cas à 
distinguer : 
1° m est un entier n; 
2° m est de la forme n + $ (n entier). 
1° Sim = n, on à 2r — «, et les valeurs congrues 
de «x; ont des indices de même parité. L'ensemble des 
termes correspondant à ces valeurs sera 
sin nx fe 1j fa) D l 
Per, 
À L — 0 — Dr 
où la somme s'étend aux valeurs entières de À telles 
qu'on ait | 
— N < (ay + 2ar) < N. 
Quand N tend vers l'infini, cet ensemble a pour limite 
sin 2x X — dy 
(— 1) (a) eot 
n 
La formule (2) devient donc 
En particulier, si f = 1, on a identiquement 
sin nx ?7 D 
ee me LU CU 
0 
Xx 
2 Sim—=n +;, on a 27 — 0% 41 et les points & 
congrus (mod. 2x 
ont leurs indices alternativement 
