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À cause de la périodicité de f(x), on peut écrire aussi 
PES C1] 1 * 1 F 1 | 
m L—ag X—2 —2T L—a,+Ir 
Si nous faisons la différence des deux fonctions ®(x) 
et F(x), il vient donc 
fe) Fr) = PEN (2 ap flan mu 
0 
en posant, en abrégé, 
Re ————— © Se ee RS 0 
Donc, z(a) est une fonction continue de x et de « ainsi 
que toutes ses dérivées quand x et « varient de O0 à 2x. 
. Nous pouvons maintenant énoncer le théorème suivant : 
46. Théorème. — Pour touie valeur de x dans l’inter- 
valle de O à 27, les deux fonctions ®(x) et F(x) du numéro 
précédent ont la même valeur asymptotique quand m tend 
vers l'infini. De plus, la différence (x) — F(x) tend unifor- 
mément vers 0 quand x varie de O à 27. 
En effet, cette différence tend vers 0 comme la somme 
{ 27 f 
D (— 1) fe} (e) 
et 1l n’y a qu’à appliquer le lemme I du n° 11 pour 
établir qu’elle tend uniformément vers 0. | 
Les conditions de convergence de la formule d’inter- 
polation (x) sont donc exprimées par les théorèmes II 
1908. —— SCIENCES. 25 
