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Dans ce cas, on reviendra aux théories du chapitre I en 
se servant du théorème suivant : 
48. Théorème, — Si f(x) est une fonction continue 
ayant une dérivée bornée et intégrable dans l'intervalle 
(0, 2x) et qui reprend la méme valeur différente de O à ces 
limites, on désigne-par F(x) ce que devient F(x) quand on 
y remplace f(x) par f(x) — f(0) qui a la méme dérivée 
mais qui s’annule aux deux limites ; en tout point qe l’inter- 
valle (0, 2x), les deux fonctions dérivées 
æ’(x) et Fix) 
auront la méme valeur asymptotique pour m — ® et la 
différence D'(x) — Fox) convergera uniformément vers 0 
quand x variera de O à 27. 
Pour établir ce théorème, 1l faut observer que l’on ne 
change pas la dérivée D'(x) de la formule d’interpolation 
quand on remplace f(x) par f(x) — f(0). 
On à, en effet, D étant le signe de dérivation : 
. sin mx 
a=D. —— C1) )f{æ) cot = 
TER 
? 
et identiquement : 
sin mx 27 
D (—1) (0) cot 
2nrRS 
TX — dy 
0=D 
Soustrayons, et appelons o la fonction déduite de ® 
par le changement de f(x) en f(x) — f(0); nous trouvons 
ax) = a{{x). 
