ne Lie 
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Nous sommes ainsi ramenés à démontrer que ® et 
F; ont la même valeur asymptotique, donc au théorème 
précédent. 
L'analyse faite dans le $ 5 du premier chapitre nous 
conduit done à la conclusion suivante : 
49, Théorème. — Si f(x) est une ‘fonction continue 
qui reprend les mêmes valeurs aux limites O et 27 et qui 
possède une dérivée à variation bornée dans cet intervalle, la 
valeur asymptotique de la dérivée ®'(x) de la formule 
d’interpolation sera 
f(x — 0) 8(E) + fx + 0) 9(1 — E). 
En particulier Œ'(x) aura pour limite f'(x) en tout 
point où cette dérivée est unique et la convergence sera uni- 
forme dans tout intervalle intérieur à un autre où f'(x) sera 
continue. 
Pour que ®’(x) converge uniformément vers f/(x) dans 
tout l’intervalle (0, 2x), 1l suffit donc que f(x) ait une 
dérivée continue et à variation bornée dans cet intervalle, 
et qui reprend la même valeur aux deux limites. 
$ 7. — Relations entre les coefficients de la formule 
d’interpolation et ceux de la série de Fourier. 
50. Calcul de ces relations. — Supposons que 
f(x) soit développable en série de Fourier dans l’inter- 
valle (0, 2x), sous la forme 
do S À 
(1) fx) — si 2 (a, cos nx + b, sin nx). 
