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et à variation bornée dans l'intervalle (a, b), on peut définir 
un polynôme de degré <'12 m qui coïncide avec f(x) pour 
2 m + 1 valeurs de.x en progression arithmétique (de la 
valeur à à la valeur b) et qui tend uniformément vers f(x) 
dans cet intervalle quand m tend vers l'infini. 
Ce polynôme est donc de degré environ six fois plus 
élevé que celui de Lagrange. 
NOTE 
sur l’approximation par un polynôme d’une fonction 
dont la dérivée est à variation bornée (*). 
653. — Nous voulons rattacher, en terminant, aux 
calculs exposés dans les pages précédentes la solution 
d’une question intéressante : Avec quelle approximation 
(*) Cette note se rattache au mémoire que nous venons de pré- 
senter sur l’approximation des fonctions par des polynômes et qui 
a paru dans le numéro précédent du Bulletin. Quand on emploie 
la méthode de WEIERSTRASS, la nôtre ou celle de M. LEBESGUE 
(voir les Leçons sur les fonctions de variables réelles, de M. E. BoREzL, 
chapitre IV. Paris, G. V., 1905), on trouve pour un polynôme de 
degré n une approximation de l’ordre de ÿ=. Les méthodes basées 
n 
sur l'emploi des séries trigonométriques comme celles de MM. LERCH, 
VOLTERRA, PICARD, pourraient conduire à une approximation de 
l’ordre de 1:n. L’approximation à laquelle nous arrivons dans cette 
note est aussi de l’ordre 1 : n, mais elle est beaucoup meilleure que 
les précédentes. Je ne pense pas que l’on se soit déjà occupé de la 
comparaison des diverses méthodes au point de vue que nous indi- 
._quons ici. Il serait très intéressant de savoir s’il est impossible de 
représenter l’ordonnée d’une ligne polyvgonale avec une approxima- 
tion d'ordre supérieur à 1:n par un polynôme de degré n. Nous 
posons la question sans la résoudre. 
