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peut-on représenter, dans un intervalle donné, une fonction 
également donnée, par un polynôme dont le degré ne sur- 
passe pas une limite assignée 2n? 
On peut donner à cette question une réponse satisfai- 
sante dans le cas où la fonction à représenter f(x) possède 
une dérivée à variation bornée (n° 6) dans l'intervalle 
(a, b). 
Cette réponse s’appuie sur un théorème intéressant par 
lui-même et que nous allons préalablement démontrer. 
Soit f(x) une fonction continue de x dans l'intervalle 
(a, b) et qui s’annule aux deux limites a et b. Nous sup- 
posons qu’elle s’annule partout en dehors de cet inter- 
valle. Nous supposons aussi qu’elle a une dérivée à 
variation bornée dans l'intervalle (a, b) et nous dési- 
gnons par V la variation totale de cette dérivée dans 
l’intérieur (n° 8) de cet intervalle. Dans ces cas, la varia- 
tion totale de la dérivée dans l’intervalle (— œ, + ) est 
égale à 
V + uw, 
en désignant par uw la somme des valeurs absolues de 
f'(a + O0) et f'(b — 0). 
On a alors le théorème suivant : 
66. Théorème. — Quel que soit x, la différence 
entre f(x) et l’intégrale 
1 ? sinm(x — a) 
I — — DENERTT - d , 
= [re EE à 
a 
où m est une quantité positive d’ailleurs quelconque, ne 
