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Passons maintenant à la démonstration du théorème 
d'existence. 
Posons 
Soit 8 une fonction des n + 1 variables indépendantes 
Lys ve. Ln OÙ Z. 
Les systèmes (1) et (4) sont équivalents (*) au système 
unique | 
|) d0 
(6) D,6= Ÿe —X} + — 7° — 
Si ce système est complet, 1l admettra n + 1 — r inva- 
riants distincts; un au moins de ces invariants renfer- 
mera %z, Car le système (1) n’a que n — r invariants 
distincts; de cet invariant nous tirerons la fonction z, 
après l’avoir égalé à une constante ; d’où enfin le multi- 
plicateur généralisé N — &. Il suflira donc de montrer 
que (6) forme un système complet, c’est-à-dire qu'on a 
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DeDpr; — DeDori = Ÿr y ÉPXT it..." 
1 
(*) Toute solution 0 du système (6) est un invariant des r systèmes 
d'équations différentielles ordinaires : 
dxx dx k== 1: 240 
REED ue 
X° L 1 p—=4, ete 
ou 
dx aN dt 
AOT EUNLE ÿ 
et réciproquement. 
