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La quadrique (a;a;d) a en commun avec le plan ad, 
outre la droite d, une droite À de la quadrique (a,a;a;); la 
même quadrique (a;a,d) rencontre le plan a A suivant 
une conique ÿ qui passe par À et A,, s'appuie sur as, 4; 
en des points Qs9, Qo, et sur h. 
Ainsi, aux rayons du faisceau (À,, «) correspondent des 
cubiques de L dégénérées en une droite h et une conique +; 
les droites h sont les genératrices de l'hyperboloïde (ayaza;) 
et les coniques 7 engendrent un faisceau-plan dont deux 
points fondamentaux sont À, À, et dont les deux autres 
sont Q3o et Qo. 
Les faisceaux (Ao, &), (As, x), (A;, à) donnent lieu à 
des remarques analogues. 
4. — Soient L,, Lo les points de rencontre des 
droites l4, L avec le plan &. 
Prenons pour droite d un rayon quelconque du fais- 
ceau (L1, x). Les quadriques (a;aod), (a;a;d), qui ont 
deux droites communes, d et /,, Se coupent encore sui- 
vant une conique À. Lorsque la droite d décrit le faisceau 
(L4, &), la conique À décrit une surface cubique passant 
par À, dy, do, @5, 4, là, la (théorème de Fr. Deruyts). 
Dans le cas actuel, la droite /, est double. Soit, en effet, 
x une droite s'appuyant sur /,. Par un point X, de x 
passe une quadrique passant également par a, &, Li etA. 
Cette quadrique a en commun avec le plan «, outre b;, 
une droite d qui passe par L,. La quadrique (da;a;) 
marque sur x deux points dont l’un est sur /, et l’autre 
est X,. Entre les points X, et X, existe une correspon- 
dance (4, 1); il y a deux coincidences, mais l’une de 
celles-ci est dans le plan &, donc la surface cubique lieu 
des coniques À ne rencontre plus la droite x qu’en un 
point, par conséquent /, est une droite double. 
