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y à apporté seulement quelques améliorations de détail 
et quelques compléments qui font mieux connaitre les 
relations de son travail avec celui que M. Glaisher 
a publié dans le PE Journal, tome XXVII et 
tome XX VII. 
L'auteur débute par un avant-propos où, conformé- 
ment au désir exprimé dans mon premier rapport, il 
analvse le mémoire de M. Glaisher. Celte analyse suflit 
pour montrer que le mémoire soumis à notre apprécia- 
tion est original non seulement par la méthode, mais 
aussi par la généralité des résultats, ceux de M. Glaisher 
se déduisant comme cas particuliers de ceux de M. Beau- 
pain, en supposant que la variable prenne des valeurs 
entières. 
Le mémoire de M. Beaupain est très touffu et plein de 
formules qui ne se prêtent pas à une analyse sommaire. 
Je me bornerai done à donner les grandes subdivisions 
de ce travail et un aperçu seulement des procédés et des 
résultats. 
Les fonctions d’ordre supérieur de Kinkelin qui sont 
étudiées dans ce mémoire sont les fonctions G;{a), défi- 
nies par la relation 
(1). . . . DMlog Gi(a)= À! D'log L'(a). 
Cette relation ne définit log G;(a) qu’à un polynôme près 
de degré À + 1. Pour achever de déterminer la fonction, 
l’auteur pose la relation fonctionnelle 
D LS Ge + 1) — 0° Gy(o) 
Celle-ci, comme le montre le mémoire, détermine à une 
constante près le polynôme introduit par l'intégration de 
