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I multiplie l'équation (5) par = et 1] passe à la limite 
pour à infini. Îl trouve 
S ; a+! | 
(8) J log G)(x)dx — RTE EC u — ee 1 + + log ©). 
Pour terminer le premier chapitre, l’auteur désigne 
par g)(a) la fonction qu'on obtient en intégrant 1 fois de 
suite log (a) entre O et a. Ces fonctions sont celles qui 
ont été considérées par M. Glaisher. C’est donc un pre- 
mier point où les recherches de M. Beaupain viennent en 
contact avec celles du savant anglais. D’après leur défini- 
tion, les fonctions G) et g) ne peuvent différer que par 
un polynôme de degré À + 1, qui s'obtient sans peine 
par un calcul de proche en proche. 
Le second chapitre à pour objet la généralisation de 
la formule de Surling. La formule (1) peut prendre la 
forme 
co en 
(9) . . . D#?log Gy(a) — if SE ANRT 
1—6e" 
0 
Il y a deux cas à distinguer suivant la parité de À. Consi- 
dérons seulement celui où À est pair. L'auteur pose 
X TX B, #3) Bjrt+ 
RTS, Mes +}{x). 
Le 2 1. (1411) 
Il fait cette substitution dans (9), d’où 
À 
(T1 D# log G)(a) =! au D PME PR B) 
é a at ae 
+ 2! [axe “dx. 
0 
