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lopper ici la solution qui a été donnée (*) de ce problème 
par le regretté Beltrami, en la rendant plus agile par 
l'emploi explicite et systématique d’une opération fonc- 
tionnelle remarquable, et en y apportant quelques modi- 
fications et des compléments qui, sans être essentiels, 
nous semblent néanmoins très propres à faire ressortir 
toute l'élégance de la méthode imaginée par léminent 
géomètre italien. 
On réduit immédiatement l'équation (1) à la forme 
dp do 
== 2 
ol dr” (2) 
en posant r Ÿ — +, celte nouvelle fonction étant obligée 
à s'annuler pour r = 0, quel que soit £, afin que V puisse 
rester finie au centre de la sphère. Nous allons d’abord 
résoudre la question proposée dans le cas d’une tempé- 
rature initiale nulle, et nous désignerons par V, la tem- 
pérature relative à ce cas. Il s’agit alors de trouver, 
parmi les solutions de l'équation (2), qui s’annulent 
avec l’une ou l’autre des deux variables, celle qui se 
réduit à F(t) pour r — 1. Remarquons, en premier lieu, 
que de toute fonction y(r, t) satisfaisant aux conditions 
ÿ(0, = 0, g(r, 0) = 0, (5) 
on peut en déduire une infinité d’autres, qui satisfont 
évidemment aux mêmes conditions, par la formule 
0 = sir, de, (0 
f étant le symbole d’une fonction arbitraire. Il y à plus : 
(*) Mémoires de l'Académie des sciences de Bologne, 4e sér., t. VII, 
pp. 291-326. 
