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Au moyen de la condition des six points, nécessaire el 
suffisante pour l'établissement d'une géométrie à trois 
dimensions, je suis arrivé à établir successivement les 
trois systèmes logiquement possibles d'Euclide, de 
Lobatchefsky et de Riemann. 
Je n'ai fait ainsi, d’ailleurs, que de la géométrie 
instantanée. Dès que l’on veut passer à une vérification 
ou à une application quelconque, il faut introduire l’idée 
du temps et celle des corps solides. 
J'ai conclu en signalant une fois de plus l'erreur des 
esprits attardés qui croient pouvoir trouver des démons- 
trations théoriques des principes expérimentaux de la 
géométrie ordinaire, et en particulier du plus célèbre de 
tous : le principe de la parallèle unique, équivalent au 
postulatum d'Euclide. 
Les systèmes de géométrie théoriquement possibles 
sont en nombre infini, bien qu'ordinairement divisés en 
trois classes ou espèces; et pour distinguer entre eux, où 
même pour écarter" un seul de ces systèmes, 1! faut invo- 
quer l’expérience. 
Or le principe de la parallèle unique n’est vrai que 
dans un de ces groupes; dans un autre, 11 y à deux paral- 
lèles (ou une infinité, selon la manière de l'entendre); 
dans le troisième, le parallélisme est impossible. 
Démontrer ce principe sans invoquer l'expérience 
équivaudrait donc à démontrer l’impossibilité, même 
théorique, des systèmes où ce principe n'existe pas, c’est- 
à-dire à démontrer le contraire de ce qui a été établi 
analytiquement dans mon mémoire. 
Quelle que fût, en effet, la forme de la démonstration, 
elle pourrait toujours être transformée dans les notations 
que J'ai employées, et en la comparantavec mes calculs, 
