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Cette formule très remarquable se réduit pour £=0 et 
2 — L à celles bien connues de Schaar. 
M. Hermite à publié, en 1895, dans le Journal de 
Crelle, un travail Sur la fonction log F (a) qui contient 
sous une forme équivalente les formules de M. Beaupain. 
La seule prétention de M. Beaupain, qui cite cet article, 
c'est done de donner une démonstration plus simple 
et plus facile à généraliser. Son point de départ se 
trouve dans le développement de e-** en série trigonomé- 
trique. 
M. Beaupain signale, en terminant son premier 
mémoire, certaines généralisations de formules de Bour- 
guet, Gudermann et Kummer, qui découlent naturellement 
des résultats précédents. 
Toutefois, le principal intérêt du premier mémoire est 
de servir d'introduction au second, dont les résultats 
sont nouveaux et dont nous allons maintenant parler. 
L'objet du second mémoire est d'étendre aux fonctions 
log G)(a) les résultats du premier mémoire. Les fonc- 
tions G) (a) ont été définies par M. Beaupain dans l’im- 
portant travail qu'il leur à consacré, l’année dernière, 
dans les Mémoires in-4° (t. LIX). Elles satisfont à la 
relation 
D'*+? log G) (a) — 21! D° log T (a). 
Cette formule fait manifestement correspondre au déve- 
loppement de log F (a + £) un développement analogue 
de log G, (a+£). Mais il y a À + 2 intégrations succes- 
sives à effectuer par rapport à a, ce qui introduit un poly- 
nôme de degré À + 1 à déterminer. Les coeficients de ce 
polynôme se trouvent encore une fois dépendre des poly- 
nômes de Bernouilli. L'auteur les détermine par des 
