90 
la questione e dando una dimostrazione che reputo esente 
da ogni difficoltà e nella quale del resto non ho dovuto 
se non investigare più accuratamente le conseguenze dei 
principii stabiliti dal ricordato illustre Geometra é appro- 
fittare inoltre d’un metodo usato da gran tempo. per 
l'effettiva integrazione dell'equazione del Riccati. 
Proposta pertanto un’equazione in cui la seconda de- 
rivata d'una funzione incognita y eguagli la stessa. fun 
zione moltiplicata per un’altra funzione cognita P,.e 
formata tra la variabile indipendente x e una nuova in- 
cognita w un'equazione differenziale a cui soddisfarebbe 
la somma delle potenze simili dei valori di y che ‘sareb- 
bero dati da un’equazione algebrica fra y ed x, dimostro 
le seguenti proposizioni: 
1.° Se P è un polinomio intero, w non può. essere 
‘ razionale. | 
2.° Se P è una frazione razionale con parte intera 
non costante, « quando sia razionale non ‘avrà parte 
intera. | 
3.° Se P è una frazione. razionale con parte intera 
costante, ovvero è una frazione razionale in cui il grado 
del denominatore superi d’un’unità quello del numera- 
tore, w quando sia razionale non ha parte intera o l’ha 
costante. i 
4.° Se P è una frazione razionale, non può «, quando 
sia razionale, aver per fattori del suo denominatore quei 
fattori lineari del denominatore di P che in questo deno- 
minatore sono elevati a potenza diversa dalla seconda, 
e affinchè abbia per fattori quelli che sono elevati. alla 
seconda potenza, conviene che spezzato P in frazioni 
parziali il numeratore della frazione parziale corrispon- 
dente (che ha per denominatore tale seconda potenza) ‘sia 
