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sopra considerati, non potendo mai divenire negativi (!), saranno necessariamente 0 
nulli od interi positivi. Se ora uno o più di essi fossero uguali a zero, Su resulterebbe 
manifestamente primo relativo a »1: se poi fossero tutti interi positivi, Sy diverrebbe 
divisibile per la potenza di v, avente per esponente il minimo di tali numeri. Si 
può adunque concludere che in questo caso S, può essere o primo relativo a vr, 0 
per questo divisibile a seconda del particolare valore che riceve w. 
CoroLLarIo I. — Dall'equazione (11) si trae che per a, = 1 e per & +1<», 
onde s,+, = 0, Su resulta multiplo di 7, qualunque sia w purchè <v— 1. 
CoroLLarIO II. — Se n= »,% la somma 4, (5) considerata nel Lemma III 
è manifestamente espressa dalla equazione 
an Se VIP (ZE (0 — 1)2). 
Da questa si vede che, denotando con S',, la somma che moltiplica il fattore »,! ed 
applicando la (10) avremo 
vii [K, — Kay me]. 
T(u+41) { 
donde segue che il precedente Teorema vale anche per sy. 
Su. == 
Continuazione dell'argomento precedente. 
TEOREMA. — Essendo n una potenza intera e positiva a, del nu- 
mero primo 2, la somma delle potenze intere positive pe 
(1) su deb 88454... (3) (n 1)t 
della serie naturale dei numeri interi dispari 
(2) 1.3.5 ...(@-3),(@a-1) 
sarà secondo il modulo x congrua a zero quando w è numero dispari 
od u=2m-++1; tale somma diverrà poi secondo lo stesso modulo 
congrua a g(x) quando w è numero pari od u= 27. 
I numeri dispari (2) sono tutti quelli minori di 2% ed a questo primi per la 
qual cosa qui vale il Lemma III (S 2) potendosi identificare i ? coi numeri mede- 
simi e 2, con sy. In virtù adunque delle relazioni (7) $ 2 si hanno 
(3) Sara = 0 (imodl @ =) 
(1) Importa osservare che il termine del polinomio sotto X corrispondente ad è = «, [Hy:r;"W]. 
pa,tNyeg ALe: RCS LALTE,,T . h gna 
Vi po pae [riv v]. ZA W7ep+1, mai nullo, ha l’esponente di »; positivo, qualunque 
sia w. Infatti, siccome non può essere e, = 0 perchè se tale fosse dovrebbe aversi v, > & e così 
v\i=U-+1e per conseguenza ep+:1=1 od =0 contro la ipotesi per cui si ha ep+4: > 4 ed 
i 
= ei È) . x . . . 
a,=1, così l'esponente ud 4 ey — eu+1 per il Lemma I sarà necessariamente maggiore di 
u(a—1) +e, —1e perciò sempre > 0. 
