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essendo sempre rv, una potenza intera e positiva di un numero 
primo »,, sarà divisibile per n se { è primo a »,, e sarà divisibile 
soltanto per rv, dove a, deve essere =1 e <a;, se £ non è primo a n. 
Supposto y un fattore qualunque del prodotto Z (£—1), questo e la differenza 
(»:°% — y) saranno insieme o primi a »v, ovvero divisibili per la massima potenza 
di v, ch'entra in y tanto che i due prodotti 
(nia —1)(M—-2)(na—-3)... (ma #+1),FT(6-1) 
conterranno un medesimo numero di volte il divisore primo v,. Da ciò si deduce 
che, designando L un intero qualunque positivo primo a »} , il coefficiente binomiale (1) 
diverrà 
a 
@) (E: 1 ) = parer). L. 
Ora se £ è primo a »; tanto in 1 (t) che in Z(£— 1) l'ultimo fattore multiplo 
di », sarà il medesimo sicchè i due esponenti «,,-, risulteranno necessariamente 
uguali e la (2) si ridurrà ad 
(3) ( ) Yo 
Se poi { è un multiplo di v,, allora (f— v,) sarà l’ultimo fattore multiplo di », 
contenuto in 7 (‘—1), dimodochè, applicando il Lemma II (4) del $ 2, si trova e«—&_1=d, 
ove d significa l'esponente della minima potenza di »v, ch'entra in #. Osservando 
D vl . 0 0 
inoltre che ($ ) assume valori differenti soltanto per £=w1, vm, 73,0, 
si vede che il minimo valore della differenza e — «.-, deve corrispondere a { = vw, 
nel qual caso comparisce in 7(f—1) come ultimo fattore divisibile per v, il se- 
guente vr! — v,. Laonde, in virtù dello stesso Lemma, tale valore minimo è dato 
da d=a,—1, mentre il suo valore massimo che corrisponde a {= v,, e a—1 
indipendente da v, sarà d=1. Introdotti infine questi valori nella (2) sì ottengono 
vj Vil 
4 =Mo JU IE. 1h - 
( ) ES 1 ù Vi 1 
Teorema II. — Se x è un numero dispari qualunque, il prodotto 
di tutti i numeri minori dizeadessoprimisarà congruo secondo il 
modulo x al prodotto di tutti i numeri dispari minori di 2 e primi 
a questo numero. 
Infatti, essendo g (2) = (2%), tali due prodotti contengono lo stesso numero 
di fattori ed il primo di essi differisce dal secondo in ciò che, invece di ogni fattore 
pari a quello appartenente minore di x e primo ad 7, comparisce in questo il  fat- 
tore dispari #-+y maggiore di x ma minore di 27 e primo a 2x. Da ciò e dalla 
congruenza y -- n= y (mod. 2) si deduce essere i detti prodotti congrui secondo il 
modulo x l'uno all’altro. i 
LeMMa. — Se si prendono gl’interi positivi 
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