— 355 — 
onde, se s;=+-1,s.---1, sono od ambedue od almeno uno non multipli di 7, resulterà 
necessariamente per la formula penultima 
i=0 i=09 
Egian== d» (pi +) + » Wi CE Lesa I ’ 
GET i=c +1 
ove nel primo caso sarà o, =0, nel secondo 0", <0,. Si può adunque concludere 
che a fortiori esiste sempre e necessariamente la relazione 
€41 + O) = $s,+1 + Ess+1 » 
Si passa ora immediatamente al caso generale di d intero positivo qualunque 
col dedurre dall'ultima formula, la quale sussiste qualunque siano s1,s», le seguenti: 
Es +4, +8; +8p +10 Si Cola SSR ’ (è = 11,2 DICICICO) (d Tor 1)) . 
Infatti se desse si addizionano membro a membro e poi si eseguiscono opportune 
riduzioni, si ottiene la generale relazione (5) enunciata nel Lemma. 
CoroLLARIO. — È poi evidente che questa relazione seguita a sussistere anche 
quando le s sono in parte od in totalità uguali fra di sè. 
TrorEMA III. — Ritenuto ciò che precede, supposto però che il 
numero 7 sia una potenza intera e positiva 4, del numero primo n, 
la funzione simmetrica multipla della serie naturale dei nu- 
meri interi 1.2.3...(2—1) rappresentata, come di consueto, da 
S (vw, us ug ... 39) sarà necessariamente multipla di v,©=+: quando 
si abbia a, >se41; tale funzione potrà essere o prima relativa a n 
ovvero divisibile per questo numero nel caso che sia a, = «41. 
Tale funzione simmetrica multipla è sempre esprimibile in modo razionale ed 
intero mediante somme di potenze simili g”° della serie sopra riportata dei numeri 
interi successivi, essendo poi g=s. Il polinomio, da cui è dessa rappresentata, si 
compone adunque indipendentemente da coefficienti numerici, di termini in cui una 
o più di quelle somme, al massimo d, entrano come fattori ed in ciascuno dei quali 
addizionando gl'indici de suoi fattori si ottiene sempre lo stesso numero s. I termini 
medesimi, astraendo sempre dai loro coefficienti, si riducono tutti alla medesima 
forma tipica (So, So, Soz + + è Sor; Sox ) OVO 41,2, P3 + Pr, Pr indicano gruppi dei 
numeri s1,$2... So formati addizionando rispettivamente 1 ,%2,%3,..., dr, di 
essi numeri senza ripetizione di alcuno dei medesimi, supposto î1 << d3... < în <<îk 
ed 14-24-34 1 & [| 9; ed ove si ha sempre po+-ga+-g3 + +prit- gas, 
ed ove vil, 2, wf3, ..., Vf, vÎx rappresentano le potenze di », immediatamente 
inferiori rispettivamente ad g,14+1,g2+1,g93+1,...,9r1+1,gr +1 od 
uguali ad essi. Il termine $;,+5,+...+53 è evidentemente compreso in quella forma 
donde si deriva per gh =s1-+s2 ++ sa, So, == Sa, = 1 (1). 
(1) Vedi Faà De Bruno, Yéorie générale de l’élimination. Paris 1859, pag. 4-7. 
