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che del tutto conviene con quella superiormente stabilita per il modulo »,. Denotato 
di nuovo con R; il resto, positivo o negativo, della divisione di P; per 2° tale però che 
sia minore di 2°, avremo P,° = (2îQ + R.)? = R° + M (2°), sicchè colla prece- 
dente congruenza avranno sempre luogo le altre due 
P;="R; (mod. 2°), P;= R;? e così anche P;.,= R; (mod. 2°). 
Se ora si attribuiscono successivamente ad % i valori 2,3,..,@—2,4,—1, 
si trovano 
P, =R, =—1 (mod. 2°) $ 3 al principio P3 =(—1)°=1 (mod. 2°) 
P} =R3 = l (mod. 2°), , P, =1° =1 (mod. 24) 
P,e=Mhe= 1 (il 25), Peel (mod. 2%-1) 
ed infine 
P,e2Rye I (ol 99), Pep, =iI=1 (1 29) 
III. I procedimenti adoperati nel $ 3 e sopra allorchè si ha per modulo 2° 
sono il primo del tutto generale l’altro in parte ma ambedue assai conformi a quelli 
seguiti quando il modulo è potenza intera e positiva di un numero primo dispari: 
altri due qui seguono, notevoli per la loro più o meno grande semplicità, ma unica- 
mente valevoli pel modulo ivi considerato 2° in quanto dipendono in parte 0 total- 
mente dalle peculiari proprietà dei numeri dispari di cui consta il prodotto P. 
1. Presa di nuovo l’equazione (1) del $ 3. 
h=Q(n) =) 
b()= HI (& + (2h2—-1)= 2 Cet, Co= 1, Com=P, 
h=1 =0 
sì consideri delle relazioni di Newton che insiem collegano i coefficienti C colle 
somme s, delle potenze 4°. de' numeri (24 — 1) quella che corrisponde a Z=g(n), 
(1)£® sem + > (1°C + g(n) Com = 0 
in cui (7,9) si determinano, come altrove, dall'equazione # + 0 = g (2). 
Da questa ultima equazione è manifesto che, essendo g(m) sempre pari, ogni 
soluzione (7,9) consta di numeri della stessa specie, di guisa che si ha 
i3(@M_) tom) 
; (—1)° (01, So == Si Ca; Somyazi A » Cri So M)ZZI+1 * 
i=1 =1 
(n) 
Ma, come è noto, Cz, eccetto È = g(2) poichè uguaglia la somma di (? ) (questo 
numero pari pel Teorema I, $ 4, Parte I?), addendi dispari, necessariamente riesce 
un multiplo di 2 e per conseguenza C»; Sem: un multiplo di x, congruenza (4) del 
Teorema $ 3, Parte I8; mentre Cs;_, So@2zi+1, congruenza (3) ivi, è multiplo anche esso 
di 7. Laonde in conseguenza di ciò, e del Corollario al Lemma III, $ 2 ivi si banno 
3 (-1)C:se=0, cong(2) 4 9(2) Com =0 (mod. 2); 
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