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2. Per trovare l’espressione di tale differenza, poniamo secondo una nota re- 
lazione 
1 
= li —| = 
40) Lim} log lia n tag rl >) 
dove X è un numero d'ordine, positivo e intero, che va a co. La serie è di- 
vergente, ha dunque una somma infinitamente grande, la quale però, sottratta dalla 
quantità pure infinitamente grande log 7, costituisce una quantità finita. Derivando 
la 4) si ha 
RE rag (LE 1 1 1 
a tartat Ho i 
La serie è ora convergente ed introducendo la sua espressione nella rela- 
zione 3), si ha 
D(u4 1) — D(u) = TW im 5) 
Questa equazione esprime la somma di una serie, somma che fin qui non poteva 
esprimersi in forma finita, tranne per il caso speciale che w fosse un numero intero (!). 
Per u=1 si aveva 
x 1 1? 
n 
O mmie 6 
Sostituendo la 4) e la 4,) nella 2) si ha pure 
k h 
® = SY — e 
(u-+1) Jim }log& Da ga: 6) 
e scrivendo v al posto di u-+-1 e nella serie X-+1 al posto di %, anche 
2 bat 
D(u) — lim] log XK — Da (u 4h?) 6,) 
Questa serie, come quella in 4), è divergente, ma l’espressione intera a destra 
della 6,) è una quantità finita. Ponendo nella 6) u=0, si ha 
k 
®(1) = lim} log&a—}7j=—A 7) 
k= 00 1 
dove A = 0,5772156... è la costante già calcolata dal Mascheroni e tanto frequente 
in tutto questo ramo dell’analisi. È noto che anche Z(1)==—A, per cui la fun- 
zione ® ha questa rassomiglianza colla Z, che 
D(1)=Z(1)=— 
3. Scrivendo nella 5) u-+1 al posto di «, % al posto di X--1, e modificando 
in conseguenza i limiti di XY, si ha 
O(u+-2)—00+1)=Y,4y 
(1) Piola nel suo bel trattato sugli integrali definiti (Opuscoli matematici e fisici, Milano 1832, 
tomo I, pag. 200) esprime quella somma ed altre mediante derivate di Z e T. 
