= Bi 
Derivando rispetto ad «, e tenendo presenti le equazioni 1), 2), 3), che costi- 
tuiscono le varie forme di definizione delle funzioni ®, con facili riduzioni si ha 
n° ®(nu)= n? log 
\ D(1) \ 20(u+3) asa) | 
e) lo: (142223) 
Questa equazione è formata, in apparenza, di due serie distinte, ma in realtà 
la seconda continua la prima. La funzione ® (nu) è data da una serie finita di 2n—1 
32) 
termini, che incominciano da @(v) con processo successivo di mo e finiscono con 
o(v+ i I coefficienti invece procedono da 1 fino ad ” e retrocedono poi 
di nuovo fino a 1, in forma analoga a quella, che si riscontra nella formola bino- 
miale per esponenti positivi, interi e pari. Ne segue che, ad eccezione del termine 
medio col coefficiente n, tutti gli altri coefficienti appajono due volte. Riunendoli 
insieme, si può dare alla 32) la forma seguente 
®(nu)= =lognt 15. io (+5, ")+o(ep- LL o(u+7) 33) 
dove, come al solito, é è un numero d’ordine, che va da 1 fino a #—1. Si osservi, 
che le due funzioni ®, aventi lo stesso coefficiente 7, hanno argomenti che si com- 
pletano a vicenda, essendo la somma di questi 2(u+ 1 3) dunque indipen- 
dente dal numero d'ordine :. Per x = 2, la 38) si trasforma in 
D(2u) = log 2 + Du) + D(u+1) | +- 5 ® (++) 
ut 1 
to) 
formola identica alla 13). Scrivendo nella 33) «-+1 al posto di ru, al posto 
di u, si ha 
DU = toga + ES st (oto eco) 34) 
forma anche più rimarchevole, dalla quale apparisce come una funzione ® può es- 
SE MO 1 x 
sere espressa da una serie di 22 —1 funzioni ® Fi Enocessive, 2 essendo un nu- 
mero completamente arbitrario. Ponendo in questa u="0, con leggiera riduzione e 
tenendo conto che i si trova 
cdl arma DIILÌ Li (tod) 35) 
la quale, per #2 = 2, conduce alla prima delle formole 14). 
