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La serie in 44) ha per somma una funzione algebrica data dalla 11). Ponendo, 
a titolo di esempio, #=1, #=:2, si hanno le relazioni 
Le et 
TATA I 
45 
DI) 
5) 
3(k-bu+2)—4 
(1 A E 
> (Zi)? (++ 2)? (£+- +4)? 
DU 
8% 
e ti 
Taanit pai Lal 
14. Dalle stesse due equazioni in 41), si ottiene per sottrazione 
D(14-2)— 0@—d) 2 04) paso 46) 
e ponendo, come prima, x per «+0, v per x—v, anche 
Du) D0) = (v—0) Di (+ la 47) 
relazione certamente molto semplice, in cui v e v sono legate alla sola condizione 
di essere positive. In ambedue le formole la serie è convergente. La 47) ha molta 
analogia colla 9), ma è d’'indole più generale. Ponendo v=% +, si ha 
É 2WA+ ut n 
D(: =® n (k LL 4 
(UA 2) (2) +2 Zi (#41) (X-+u)? (£+u+a)? 8) 
ed in questa forma più speciale, x essendo un numero positivo e intero, essa è com- 
parabile alla 9). Quando anche % sia un numero intero = m, tenuto conto della 9), 
la 48) assume la forma 
nn = n-k—1 ii Livi L Qm+ 2k+4+ n 
— —____;:;_ nYN —È@-- +; e + 49 
ei pe appalto 
per cui la serie infinita a destra si trova espressa mediante una funzione di 77 e 
funzioni algebriche. 
Ponendo m=1,=1, si ha la relazione la più semplice 
mr? ì 8 T & 7 1 2%+3 
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In queste ultime due formole, 49) e 50) come pure nelle 39), 40) e 45) ab- 
biamo espressioni, in cui le funzioni ® sono scomparse. Esse rappresentano casi spe- 
ciali di altre più generali, per le quali le funzioni ® sono necessarie. Ma non ab- 
biamo bisogno di dire, che quelle speciali si possono anche dedurre in via diretta, 
quantunque talvolta con molti artifizj. Tutte queste serie, combinate insieme, dànno 
luogo a molti sviluppi facili a trovarsi. 
+... inf. 50) 
15. L'equazione 47) stabilisce una relazione tra due funzioni ® con va- 
riabili indipendenti. Ma è facile estenderla ad un numero qualsiasi di funzioni. 
