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Ma dalla 5) si ha con successive derivazioni 
TCA < 1 
op+1)- 00) = LETI 
1 
U DATA r a PL r \ Tcen 
D(p+1)-D(p) = 1 tanto > 
(e) 
MA 1)— PPA(P)=(— 1) Il IS 
(p+1) (P)= (141)! II 
per cui 
® 1+ = D(pt+u 1) — 
(+14) C+ og 
_— Qu) +30) —__.(C1Xk+1)4&) —___+- 57 
Zap 1 Lapp OT ap 09 
relazione valevole per tutti quei valori di v, che mantengono convergente la serie. 
È quindi necessario di determinare tale condizione. Che le X°, che figurano nei sin- 
goli termini, siano valori finiti, non ha bisogno di essere dimostrato. Ommettendo 
dunque quel fattore nel termine generale, si può dire che indipendentemente dall'al- 
ternanza dei segni la convergenza della serie è assicurata, tutte volte che 
Lim) (@+D"@+1) ni lim Va) — 
= ( (1) sn 
dove 7 è un numero arbitrario superiore a 1. Per u<1 questa espressione assume 
la forma 2. Ma basta derivare partitamente tre volte di seguito numeratore e de- 
i inatore. si ha 
(7 A) lim ari 
gia 
che p. e. per r=È diviene = 0. La serio 57) è quindi convergente per tutti i 
valori di x compresi fra —1<x<+1. 
18. Ponendo nella 57) p=1 e scrivendo per maggiore brevità Y 2.0 Tg 
questa si trasforma in 
D(2--u)=D(1-+u)+S,—2uS +38, — (141) So + inf. 58) 
La serie è poco convergente, perchè i valori di Sa, Ss... Sx sono superiori al- 
l’unità e si avvicinano a questa per valori infinitamente crescenti di %. Ma si può 
renderla più convergente, scrivendo per S,,S3, Sy... rispettivamente Sì -— 141, 
S—-1+1, S.—1-+1, ecc. e staccando così la serie in due. Considerando che 
ML CD'U+De+-= 7g 
la 58) si trasforma nella serie già molto più convergente 
1 
D =® a 
@+9=20+4 +71 
+ (8-1) —24(8—1)+3#(8—1)—-(1)'(@-L1)2(So—1)+inf 59) 
