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PARTE SECONDA 
Le funzioni ® con argomento negativo e complesso. 
1. Nelle dimostrazioni precedenti abbiamo cercato le proprietà delle funzioni ® 
per valori positivi del loro argomento. Le relazioni fin qui trovate devono quindi con- 
siderarsi, per ora, valevoli solo per questi. 
Sorge ora la questione che significato acquistino tali funzioni, quando al loro ar- 
gomento positivo si sostituisca uno negativo od anche complesso. Supponiamo un piano 
indefinito, e tiriamo su di lui due assi ortogonali. Le ascisse v e le ordinate v dei 
diversi punti di questo piano sono variabili indipendenti e si tratta di definire la 
loro funzione Dv + 0/— 1). 
Seguiremo anche in questo studio il metodo fin qui adoperato, di partire dal 
caso semplice per arrivare al caso generale. 
2. Incominciamo dagli argomenti negativi. Sia 
®(u)= lim log % 
k=% 
n+ 1 n+2 k+41 
-Li 2 pr” i TP P@IgPT( Gganp (u+ 4)? col 
dove x rappresenta un numero finito, positivo e intero e %, al solito, un numero d’or- 
dine che va da 0 a co. La serie, come è noto, è divergente; ma la sua somma, in- 
finita, sottratta dal valore di log %, pure infinito, sì avvicina per valori sempre più 
grandi e più grandi di %, indefinitamente al valore di ®(v). In altri termini, questa 
funzione è espressa nella forma soltanto apparentemente indeterminata di 
Du) = + 0 — do 
ma ha un valore finito. 
Noi vogliamo ora esaminare, cosa divenga tale funzione per valori negativi di . 
È evidente che, tutte volte cheu=0, —1,—2,-:--—(n—-1). —n, —(n+1) ecc. 
uno dei termini della serie prende la forma 00°, e quindi 
D(u) = + co — 0° — 0 = — 00° 
La funzione ®, per tutti i valori negativi e interi del suo argomento, compreso 
lo zero, ha quindi un valore — 00°. Resta ora a vedersi, che valore assuma, quando 
il suo argomento è bensì negativo, ma non intero. A tal fine poniamo 
u=@0d—-N 
dove per n intendiamo un numero intero, essenzialmente positivo, per © una frazione 
positiva qualsiasi. È chiaro che tutte volte noi supponiamo n >@, la variabile % 
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