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4. Il trinomio caratteristico delle funzioni ® x successive può dunque essere 
sempre espresso mediante una serie finita algebrica, tanto quando si tratti di funzioni 
con argomento positivo, quanto quando si tratti di argomenti negativi. In questo se- 
condo caso però abbiamo supposto, che nella formola 7) « rappresenti un numero 
non intero. Ma la formola 7) conduce a risultati esatti, anche quando © sia un nu- 
mero intero. Per persuadersene basta consultare il secondo membro dell’equazione in 7), 
che contiene due serie algebriche finite; la prima che va da X=1 fino a X=%; 
la seconda in continuazione della prima, che va da X=% 1 fino a X= 2». Ne 
segue, che o nella prima o nella seconda serie vi dovrà essere un termine, per il 
quale X = @, w essendo ora un numero intero che deve essere < 2%, affinchè al- 
meno una delle funzioni ® risulti con argomento negativo. Questo termine dà a tutto 
il trinomio il valore di — co?. Il primo membro della equazione 7) contiene due 
termini 
D(a— 2n) — 2D(0 — n) 
che possono essere, a seconda dei casi, o tutti e due, o uno soltanto, con argomento 
negativo. Può sorprendere che tanto un termine solo, quanto la differenza dei due 
termini, debba essere ugualmente un infinito di secondo grado. Per rendersene ra- 
gione, basta ritornare alla relazione 1) che ha servito di punto di partenza per de- 
durne la 7). In quella due termini del trinomio hanno argomento positivo e rappre- 
sentano quindi un valore finito. Ommettendo questi termini per brevità e svolgendo 
la serie nella parte che ci interessa, abbiamo 
Li min 
do-m= =)! (A =oP® ©} re * por — 0)? ap» 
dove : rappresenta un numero intero, minore o tutt'al più o i a n. Ponendo ora 2x 
per 2, abbiamo 
(ei ei 
Ambedue le serie rappresentano valori finiti, per tutti i termini, tranne uno. 
Per cui, sottraendo dalla seconda equazione: la prima raddoppiata, e trascurando 
tutti i termini finiti, tranne quello che contiene 7 — © nel denominatore, abbiamo 
i—1 
sr Son 
il quale termine, per © =% prende il valore — co?. 
Ne segue che la 7) conduce sempre a risultati esatti, e che non occorre quindi 
più mantenere la restrizione che © sia un numero non intero. La formola 7) e quindi 
anche la 6) valgono senza alcuna restrizione. 
(o — 2n) —- 2D(o—n)=— 
5. Le considerazioni dei numeri precedenti possono essere allargate e ci permet- 
tono di trattare un problema più generale. La formola 6) contiene l’espressione, in 
forma algebrica, per il trinomio caratteristico delle funzioni ®, dove x rappresenta 
un numero intero. Ma quando x non fosse un numero intero, vale a dire, quando fra 
gli argomenti delle tre funzioni sussiste bensì una costante differenza, ma non espri- 
