509 = 
mibile con un numero intero, il trinomio caratteristico non può essere espresso al- 
trimenti che con una serie infinita convergente. Nella parte I. formola 42) ne abbiamo 
dato la relazione, che può trascriversi così 
ASA SS BOSE OPP 
D(u—v)—2 D(u)4+-D(u4v)=— 20 DI, (C+ 1): (uv (Auto 10) 
nella quale abbiamo supposto che w sia positivo e v <<. Per sapere cosa divenga 
la relazione, quando queste due condizioni non siano soddisfatte, basta esaminare 
partitamente i due membri della equazione. Poniamo prima v >, la funzione D(u—0) 
acquista argomento negativo, ma la serie a destra procede regolarmente. Nell’interno 
del fattore (£-+«—)? avverrà un invertimento di segno quando % sia >u— v, 
ma il quadrato lo copre. Nel caso speciale che v—v=—è, dove 7 è un numero 
intero, vi sarà un termine che diviene infinito negativo di 2° grado, e lo stesso av- 
viene per la funzione ®(x — 0). Uguali considerazioni valgono anche per «. Scri- 
vendo —x al posto di x, abbiamo nella serie a destra un fattore (X—)?, nel 
quale avverrà un cambiamento di segno quando % passa da <v a >; ma il qua- 
drato lo copre, e nel caso speciale di X =%, cioè quando « fosse un numero in- 
tero, si va all'infinito negativo di 2° grado da ambedue le parti. Tenendo conto di 
queste considerazioni, possiamo quindi concludere che la relazione 10) sussiste sempre 
per qualsiasi valore positivo o negativo di « e di v. 
Alla stessa conclusione si arriva per la formola 43) (Parte I.) che è una con- 
seguenza della precedente. Merita poi una particolare menzione la 47) che contiene 
in sè la più semplice relazione tra due funzioni @(z) e D(v), perla quale si trova 
facilmente che essa vale anche per ®(—%v) e D(— 7). Ponendo in essa v=—%, 
sì ha la relazione elegante 
Du — D(—) 
3.4 K(k+1) 
1,9 288 | 
#0 > rey] ypiry(ny se (=)? (e)? 
+1) 
6. Simili sviluppi in serie si eseguono con grande facilità. Alle formole della 
parte I. si possono contrapporre altrettante per valori negativi delle variabili indi- 
pendenti. A titolo di esempio prendiamo la 44), la quale coll’avvertenza ivi fatta 
prende per valori negativi di « la forma 
IR 441, 1° 2-41 
QnTt(k—u) i 2a (ku)? 
n, Ak+4+ nu)? — n° 
= (k£+1. i 
i (097 IT; — uu) (fi n_u)(£X42n—u) 
dalla quale si deducono formole analoghe alle 45), dove soltanto si trovi —« al 
posto di . Non occorre forse aggiungere che valgono non solo per valori frazionari, 
ma anche per valori interi di «. Quando questi non! superino il valore di 2n—2, 
si ha l'infinito a destra e a sinistra dell'equazione e quindi la tautologia 
12) 
CÈ = CH 
