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Introducendo questi valori successivamente nelle 15) e considerando che 
E R41 ) & eat 
= li op 0 DA Ss 
0) FER e td ua 
@ pl sa 1 © bi 
"= 280574 u =+2.3.4) 412 
@) Zog SO Ante Da (259) 
DEN(4) = — (22-41)! 3, Ce $ EV) = + (2)! Z:togpar 
— dove n è un numero positivo, intero, si hanno le relazioni 
II vi n n 
MT LA LA) note 
Ino 30) 
vu ALONE AD PT 
dove R, R' sono i termini residuali di queste serie finite, e sono dati dalle serie 
infinite 
2 (2243) (+ 4) + (2241) 0° 
= (( N+1 ,,2N+2 p/ A ZA II ESSI E e SI e Ae 
R (iero DI, (£+1) (ELL 0 
] n ar È (2-41) (+ 4%) + no? 
le = (= 1) 2V 2. (/e sh 1) (wu ue DES [(a I Kb)? UL VT 
31) 
serie, che col crescere di 7 diventano più e più convergenti. Ponendo nelle 30) v/—1 
al posto di v, esse perdono i segni alternanti, e sommando e sottraendo, sì hanno 
due espressioni, le quali messe a confronto colle 19), conducono alle relazioni 
DU 0) =) O) +3 VOR 
32) 
bu — 0) =) TV DR 
indicando in via sommaria con R,, R, i termini residuali. Esse non sono altro che 
il teorema di Taylor applicato alle funzioni ®(u = 0). 
Le relazioni 30) e 31), come pure le 32), valgono per qualsiasi valore positivo 
e intero di x. Fintanto che questo numero sia finito, le serie 30) e 32) sono finite 
e non vanno soggette a condizioni di convergenza. Esse valgono quindi per qualsiasi 
valore finito di v. 
Lo stesso dicasi delle serie infinite 31), che determinano i valori residuali delle 
R e R', e in certo qual modo, anche delle R, e Rs. È facile vedere che alla stessa 
condizione esse sono convergenti. Ma quando si volesse porre x == 0, i termini resì- 
duali sono respinti all’ infinito e non contano più. Le serie 30) e 32) invece divengono 
infinite e basta sostituirvi i valori qui sopra indicati per le derivate successive di ®(%), 
per accorgersi che i limiti della convergenza si restringono a —1<0v<4+1. 
