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PARTE TERZA 
Alcune integrazioni eseguite mediante le funzioni ® 
1. Nella teoria delle funzioni Z si dimostra che 
DET 1293 
Zu)\=_—-A+# J dz 1) 
0 eun 
in cui v è una quantità reale e positiva. La formola conserva tutta la sua determi- 
natezza, quantunque la quantità sotto il simbolo integrale ad uno dei limiti <= 1 
0 
assuma la forma indeterminata %. Difatti è facile accertarsi, che quella indetermi- 
natezza scompare con una sola derivazione del numeratore e del denominatore rispetto 
a <. La quantità posta sotto il segno integrale è una funzione finita e continua di 2 
in tutta l'estensione indicata dai limiti dell'interazione, e quindi lo è anche Z(v). 
Ponendo «-- 1 al posto di «, si ha pure 
gn 
u+D=-A4 f 1 
per cui, sottraendo la 1) dalla 2) 
1 
Zu+1)—Z() ={ go da — n 
0 
de 2) 
relazione nota fra due funzioni Z successive (parte I. 1,). Le funzioni Z sono finite 
e continue per valori reali, finiti e positivi del loro argomento. Derivando x volte 
successivamente la relazione qui sopra rispetto ad «, si ha 
1 
Z0(u-+1)— Z® () = f 31 (log a)" di =(— 1)" 2 3) 
relazione che sussiste perfettamente, malgrado la forma indeterminata 0x0, che 
assume la quantità sotto il simbolo integrale per il limite #«=0 (). Per DO 
(log 2)? 
pol—v 
4) 
sene, basta dare a quella quantità la forma 
ratore e denominatore 2 volte rispetto a 2, con cui ogni indeterminatezza e ogni 
dubbio scompare. 
2. Esiste una grande analogia nell’andamento delle funzioni ® e delle funzioni Z. 
Multiplicando la 2) per v e derivando rispetto a questa quantità, si ha 
sl AO 
Du+)=A+ f TRIO TI] _H alle 4) 
(1) Vedi Làska, Sammlung von Formeln, pag. 239. 
e derivare partitamente nume- 
