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Ne segue che tutte volte noi abbiamo sotto il simbolo integrale una funzione 
della forma precedente, ovvero una somma finita di simili termini, l'integrale è al- 
gebrico. Così, p. e. delle due formole precedenti, la 20) ha carattere algebrico, perchè 
(1 89) 
(0 
finita di termini algebrici, e l'integrale corrispondente si riduce ad una serie finita di 
integrali della forma sopra indicata, nella quale m è un numero intero. All'incontro, 
l'integrale 19) resiste a questo tentativo ed ha quindi carattere trascendente. Ci pare 
superfluo citare altri esempj in proposito. La determinazione, caso per caso, della 
funzione speciale algebrica è ovvia e si riduce al trinomio caratteristico, o ad una 
somma di trinomi rsuccessivi. Così, p. e., partendo dalla 15) e scrivendo in essa 
per vu successivamente u+, u + 27, ecc. si hanno le un espressioni 
cn AN O x Bah_1 
pr 2 (145 a ) logeda= DE +4)? ae Ip Ep) sla (Gp (04%)? 
la quantità dove % e n sono numeri interi e X > 1, si risolve in una serie 
21) 
5 i SUA (1 = 29 Il 3, tal k+41 2n_1 3In-2k_2 pae ar I 
Ji SÌ (ESE 0g & dg = Depp Sg (CEDE app (u L 4) 22) 
fa (+4)? L= Da EDP 3f k)} 
e così di seguito. Per il caso più semplice di n= 1 abbiamo le relazioni semplici 
1 — gn \2 DC A 4n—1 pet 
cl {0} A 
1 2 7 Il 2 
-f pia (1pa)loga den to 24) 
Ratti Và D Quo 
"ge EE E A RE @ 
-f al (14-2) gaber (9) 26) 
la cui forma algebrica è evidente a priori e può senz'altro trovarsi direttamente. 
Col criterio sopraindicato la natura algebrica o trascendente degli integrali qui 
contemplati si riconosce con tanta facilità, che si può servirsene, invertendo il pro- 
blema, per riconoscere la natura di una serie finita di funzioni ® 7 successive. Così 
si deduce dalla 20), che una serie finita di tali funzioni, la quale procede per 
segni alternanti e coi coefficienti dati dalla formola binomiale per esponenti in- 
teri e positivi, è una funzione algebrica. 
Con procedimento facile a trovarsi, si arriva pure alla seguente regola: Ogn? 
serie finita di funzioni nsuccessive, il cui termine generale abbia la forma 
(a) 3652) Sr (1) 0@+%) 
è una funzione algebrica. In questa espressione 7 rappresenta, al solito, un numero 
d'ordine che va da 7=0 fino a {=m. 
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