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Dalla detinizione delle funzioni ® (parte I. 6,) si ha, scrivendovi «+ Xx al 
posto di vu, e mm al posto di % 
; Na h+1 ) 
(0)) => \ 
(arden) CAN LOgua DI, (u+ kn 4h) 
per cui derivando rispetto a /% e considerando no m è indipendente da % 
h4- 1 
D'(u+ %n) = FI 
Questa serie è ora convergente ed ha quindi un valore finito anche quando % = co. 
Difatti si ha sempre 
i 
0 
ed avendo la prima delle serie un valore finito, anche la seconda, @ forziori, lo 
deve avere, ed anzi un valore positivo tanto più piccolo, quanto più grande è £. 
Ne segue che 
D'(ut 4) di; 
m cin quindi anche lim fr - Du kn) = 50) 
k=0% 
11. Noi vogliamo ora esaminare, se la serie in 48) e 49), considerata come in- 
finita e A dall’alternanza dei segni, cioè 
- (1 + 2) an: L p(u + 2a) + ag PU44—1.n) 4a Du + Xn) +» inf 
sia realmente Sienna per v > 1. Essa è decrescente e per X = co i suoi sin- 
goli termini tendono a zero. Basta quindi dimostrare che il rapporto di due termini 
successivi ha per limite un valore inferiore all'unità, cioè che 
1 Dun) _| 21 
— lim 
vinza(Du4+4k_- 1. n) 
È facile vedere che il rapporto, messo entro le parentesi } {, di due funzioni ® 
nsuccessive per 7 = co tende verso l’unità, o il che è lo stesso, che 
lim} @(0-+ fn) — D@+ E 1.9) =0 
Difatti dalla relazione 9) (parte I.) si ha, scrivendo rispettivamente 42 eX&—1.% 
al posto di x, e » al posto di % 
(uhm) = D(u) + x, pa Zi or DI 
D(u+4k1. R) = D(u) Diso "i pr +(kAa_ DI ZI can hè 
kn=n 
quindi sottraendo e con qualche AOMZIoIE 
Od Ea) Ple 1 Laden 
Questa relazione è generale e vale per qualsiasi valore di %. Ma per 4=, la 
