— 564 — 
Battaglini si educò sulle opere di Cayley, Sylvester, Brioschi, recandovi di proprio 
una spiccatissima tendenza ed attitudine ad assegnare le interpretazioni geometriche 
degl'invarianti, covarianti, ece.; molte infatti ne rinvenne di nuove ed ingegnose, 
appoggiandosi alla nozione di due forme armoniche fra loro, che a lui è dovuta (come 
mostrerò a suo tempo). In appresso trasse profitto eziandio dai metodi di Aronhold, 
Clebsch, Gordan, adoperando la notazione « ombrale » 0 « simbolica » con notevole 
larghezza di vedute. E da ultimo lo attrasse la teoria dei connessi di Clebsch, cui 
si riferiscono i lavori dell’8° gruppo e (se si vuole) uno del 5°. La teoria delle forme 
binarie adoprò inoltre abilmente nell’ integrazione dell'equazione differenziale ellittica. 
Alle ricerche del 5° e 6° gruppo, sulla Geometria della retta e sua applicazione 
alla Meccanica, il nostro alacre geometra si accinse non appena Pliicker ebbe fatte 
note le idee fondamentali della nuova feconda dottrina; e il nome del Battaglini è 
ormai consacrato a quel notevole complesso quadratico particolare, del quale egli pel 
primo investigò le proprietà. 
La Geometria non-euclidea ebbe in lui del pari un pronto divulgatore mediante 
la traduzione delle memorie fondamentali di Lobatschewsky e Bolyai, e un valido 
collaboratore mediante i lavori del 7° gruppo, e segnatamente mediante quelli che 
vertono sulle proprietà dei circoli non-euclidei. 
Alla teoria degli spazî di quante si vogliano dimensioni, così strettamente con- 
nessa alla Geometria non-euclidea, il nostro autore non dedicò alcuna comunicazione, 
sebbene egli avesse serbato sino all'ultimo la mente e l'animo aperti ad accoglier le 
idee nuove, a svolgerle, a consigliarne altrui il proseguimento. È stato detto che a 
quella teoria non si volle mai adattare. Senonchè io non reputo ben fondata cotesta 
opinione; lo argomento dai miei ricordi personali, e lo desumo dalle seguenti parole 
che egli scrisse nell'album di una colta damigella: 
« La supposizione che lo spazio, in cui gli esseri sono e si muovono, sia conte- 
nuto in uno spazio più ampio, può dare una naturale spiegazione di molti fenomeni, 
attribuiti falsamente ad agenti soprannaturali: fa inoltre sperare che lo spirito troverà 
finalmente la sua pace, venendo assorbito nella quarta dimensione dello spazio ». 
La pace invocata dal nobile spirito del nostro geometra egli l’ha, troppo presto 
per ì suoi cari e per la scienza, certamente ottenuta; come, a nessuno è dato sapere. 
Lavori sulle forme geometriche di prima specie. 
Dei lavori contenuti in questo gruppo, e dei quali mette conto dare un rapido 
cenno, il più importante è quello sulle « involuzioni dei diversi ordini »; poichè il 
nostro autore, se non fu il primo ad occuparsi di queste involuzioni, non fu tuttavia 
preceduto che dal Mébius, cui ne sembra dovuto il concetto (Ges. Werke, v. 2.); 
ma questo concetto è dal Battaglini svolto sotto tutt'altro aspetto. Posteriormente 
le studiò il Clebsch col nome di « proiettività cicliche », che poi è prevalso (Giornale 
di Crelle v. 68). 
