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Sulla dipendenza scambievole delle figure (Mem. dell'Ace. di Napoli, 1858-60). 
In questo lavoro, il Battaglini cercò di fondare la teoria dell'omografia sul solo 
concetto della biunivocità della corrispondenza, senza sussidio di rapporto anarmonico 
nè di altro; tentativo, che egli ebbe comune con molti eminenti geometri, ma che 
fallì per tutti. Ad ogni modo, egli fu il primo a Napoli, e fra i primi in Italia, 
che coltivassero la Geometria pura o proiettiva che dir si voglia; inaugurando così 
un nuovo indirizzo scientifico colà dove la Geometria era stata sino allora confinata 
nella rigida cerchia degli antichi metodi proprî della scuola greca, e dove la Geometria 
analitica ancor lottava per iscuoterne la tirannia. 
Sulle forme geometriche (Rend. dell'Acc. di Napoli, 1862); 
Sulla dipendenza equianarmonica (ib. 1863); 
Sulla dipendenza di prim'ordine (ibid.) ; 
Teoria elementare delle forme geometriche (Giorn. di Mat., v. I, 1863). 
Premessa una copiosa raccolta di relazioni trigonometriche relative ai fasci di 
rette o di piani (dai quali si passa come caso particolare alla punteggiata), relazioni 
che in parte eran già note e in parte sono estensioni di relazioni note per le punteg- 
giate, l'autore definisce la « dipendenza equianarmonica » fra due forme di 1° specie; 
ed assumendo che una « dipendenza di 1° ordine » (cioè biunivoca) fra due tali forme 
sia esprimibile mediante una equazione bilineare fra le coordinate baricentriche dei 
loro elementi, conclude che la dipendenza di 1° ordine coincide con l’equianarmonica. 
Indi suppone le due forme sovrapposte, e dà relazioni fra gli elementi doppî, gli 
omologhi ortogonali, ecc., considerando anche il caso dell’involuzione. 
Sulle involuzioni dei diversi ordini. Memoria (Atti di Napoli, v. I, 1863). 
Dati due sistemi equianarmonici appartenenti ad una stessa forma fondamentale 
di 1* specie, di un elemento @, del 1° sistema si prenda l’omologo w, nel 2°, 
di è, considerato nel 1° l’omologo ws nel 2°, e così via; ovvero di «, come 
elemento del 2° sistema si prenda l’omologo w_, nel 1°, e così via: allora @,., ©y 
sono omologhi in due sistemi equianarmonici; e se @), 04; si chiamano appartenenti 
a due sistemi « consecutivi d'ordine + 7 » (meglio sarebbe dire « d'intervallo = % »), 
©,, ©, apparterranno a due sistemi consecutivi d'ordine r—u. Questi sistemi conse- 
cutivi hanno gli stessi elementi doppî. In generale, al crescer di 7, w.; tende ad 
uno dei due elementi doppî supposti reali. L'elemento w_, armonico di ©, rispetto a 
©;, 0_; è tale anche rispetto ai due punti doppî, onde le coppie @,@©_, sono in 
involuzione ordinaria. Lo stesso se i due elementi doppî coincidono. 
Ma se per un certo elemento ©, non doppio accade che w.,, coincida con esso, 
lo stesso accadrà per ogni altro elemento, e si avrà quello che l’autore chiama « in- 
voluzione d'ordine = 72». Allora gli elementi doppî non coincidono. 
Queste proprietà vengono dimostrate fondandosi sull’equazione bilineare fra coor- 
dinate baricentriche riferite agli elementi doppî; ad esse tengon dietro varie relazioni 
pe sistemi consecutivi, nelle quali intervengono or l'elemento centrale or la coppia degli 
elementi doppî Z, XY; p. e. (E wi; @, 0;;;) = cost. = e, (fo; 00,4) = 
cost. = #8, e = +1, —==-1 nell’involuzione d'ordine m pari o dispari. 
