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Per n = 2m pari, senz'altro, suolsi assumere come forma « canonica » 
urb Arne 27m (2m—1)--(1m + 1)Zvw, essendo 4 dato da una certa equazione di 
grado 2-41 detta « lamdoide ». 
Sulla quintica binaria. Nota (Atti dei Lincei, II», 1875). 
L'autore ricorda che una forma binaria di grado » può scriversi come una ter- 
naria U nelle «,y,2 legate dalla relazione « +-y += 0, sicchè 
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dà gli elementi armonici d'ordine #'—r degli elementi di U rispetto a quelli di U'; e 
studia la quintica F=ax%*+dy*+c5, costruendone covarianti ed invarianti, ed asse- 
gnando il loro significato in base ai concetti svolti ne’ precedenti lavori. 
L'autore in queste ricerche non si occupa di distinguere gl’invarianti e covarianti 
appartenenti al sistema completo, nè d’indagare se di dati gradi ve ne sia più di uno; 
egli indica de’ modi di costruire successivamente covarianti od invarianti e di asse- 
gnarne il significato geometrico, basandosi sulle nozioni di elementi armonici di varî 
ordini, di gruppi armonici con altri gruppi, di risultanti, ecc. 
Due concetti vi dominano: quello di forme « coniugate armoniche fra loro » (« apo- 
lari » dette dal Reye, « coniugate » dal Rosanes), e quello di « involuzioni d’ordine 
qualunque » (« i sistemi lineari»). Subordinatamente al primo figura un terzo concetto: 
quello di « armonizzante », cioè dell'invariante che si annulla quando la forma è co- 
niugata armonica rispetto a sè stessa (potrebbe dirsi « autoconiugata » 0 « autoapo- 
lare) ». Ciascuno dei tre concetti è largamente e felicemente adoperato in sussidio degli 
altri due, nonchè come strumento per costruire invarianti e covarianti e per asse- 
gnarne il significato geometrico. 
Vuolsi anche rilevare il concetto dell’involuzione (o in particolare di forma) 
« associata » a una data involuzione (o forma). 
Questi concetti furono introdotti dal Battaglini pel primo. Essi con le loro ap- 
plicazioni costituiscono ciò che di sostanzialmente originale contengono le sue ricerche 
sulle forme binarie. E la estensione che egli ne fece al campo ternario costituisce 
del pari il merito principale dei suoi lavori sulle forme ternarie, dei quali tra poco 
schizzerò un cenno. 
A conferma giova riportare la nota apposta dal compianto De Paolis a pag. 4 
della sua Memoria « Alcune applicazioni della teoria generale delle curve polari » 
(Mem. dei Lincei, IIT,, 1886): 
« Battaglini, in alcune Memorie pubblicate fino dal 1864, considera « l’armo- 
nizzante » di due forme binarie cubiche o biquadratiche, ed i sistemi lineari « asso- 
ciati » che con queste forme si possono costruire. Più tardi, nel 1867, in un'altra Memoria 
definisce « l’armonizzante » di due forme binarie di grado qualunque, la « involuzione 
(Vv —1)P!2 di grado 7» o « forma sizigetica », cioè il sistema lineare o0-' di forme 
binarie di grado x, ed i sistemi lineari « associati =. Ne trova poi le principali pro- 
