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Di quanto si è dianzi accennato è facile enunciar l'analogo per forme eterogra- 
fiche (cioè reciproche o correlative). 
Quando due forme omografiche hanno lo stesso sostegno, vi è una terna e/g di 
punti doppî e una EFG di archi doppî, ove E è l'arco /4, ---; l’autore dà le equa- 
zioni in #, 7,4 e umn’ausiliaria di 3° grado che li determinano, e le discute, notando 
il caso della « prospettiva» od « omologia» ed altri. Determina inoltre gli archi 
ciclici e i punti focali, discutendo i casi particolari. Dimostra che gli archi per un @, 
e gli omologhi per un ' s'incontrano su una conica per e, /,9,e che quattro fra 
tali coniche son bitangenti a % e /; e dualmente. Ma troppo lungo sarebbe riassumere 
le considerazioni dell'autore. 
Da ultimo egli tratta di due sistemi eterografici con lo stesso sostegno. Trova 
tre punti « doppî » (cioè aventi ciascuno uno stesso arco omologo, sia considerato in 
S, sia in S') e tre archi « doppî »; dà le equazioni della corrispondenza e degli ele- 
menti doppî; esamina i casi particolari. 
Questa Memoria è importante, così per l’accurata ed acuta disamina che l’autore 
fa dei varî casi che l'argomento presenta, come per le proprietà degli archi ciclici 
e dei punti focali, le quali sono interessanti e non erano state date anteriormente. 
Sulle involuzioni dei diversi ordini nei sistemi di seconda specie. Memoria 
(Atti di Napoli, II, 1865). 
Estendendo i principî posti nell'omonimo lavoro sui sistemi di 1 specie, il 
Battaglini qui considera due sistemi omografici di 2% specie con lo stesso sostegno. 
Se 0, 01,... come elementi del 1° sistema hanno omologhi nel 2° 0,, @9,..., ovvero 
come elementi del 2° hanno @_;, ©» ,...,nel 1°, dice @,,@, omologhi in due si- 
stemi « equianarmonici consecutivi d'ordine v —»; e dualmente per archi 2; ,... 
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Riferiti i due proposti sistemi alle terne di elementi doppî e/g, EFG, si ha 
sen E ©; 8 sene Q._, 
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sen E w;_, 7 sen e 9; 
e quindi due sistemi consecutivi qualunque hanno quei medesimi elementi doppî, e 
due punti doppî e due archi doppî reali sono i limiti dei punti ed archi omologhi 
consecutivi di un punto od arco qualunque. 
Se ©, @_, son coniugati rispetto al quadrilatero avente per vertici i punti biset- 
tori interni ed esterni degli archi /9, ge, ef, tali sono anche w;, @_;, « simmetrici » 
rispetto ai bisettori; essi son coniugati altresì rispetto al. quadrilatero avente 
per diagonali E, F, G e per un lato l’arco armonico di ©, rispetto a EFG; onde nei 
sistemi consecutivi l’arco w_,, armonico di un punto @, rispetto alla coppia di archi 
e ,©_;e, è anche armonico di w, rispetto agli archi doppî fe, ge. E dualmente. 
Se a" —— 8", le coppie di punti consecutivi d'ordine 7 su G sono in involu- 
zione, nonchè le coppie di archi consecutivi d'ordine 7 per g, e si ha una « involu- 
zione parziale d'ordine 2 relativa a (9, G)». 
Se a" fg", due punti consecutivi d'ordine # sono sempre in un arco con 9, e 
dualmente per gli archi, e si ha « involuzione parziale d'ordine m » o « prospettiva 
d'ordine #2» con g e G per «centro» ed «asse». 
CLASSE DI SCIENZE FISICHE ecc. — MemorIE — Vol. I, Ser. 5.8 73 
