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Se amM= gm —= — y", si accumulano i due casi precedenti, e si ha « involu- 
zione totale d'ordine 272 »: le coppie di punti consecutivi d'ordine 72 giacenti su uno 
stesso £ per 9 fanno un'involuzione con punti doppî g, @G. E dualmente. 
Se am= pm = y", coincide @,, con @, e 2, con 9,, e si ha « involuzione totale 
d'ordine 72 » 0 « identità d'ordine 72 ». « Cicli » di essa sono (09, ...,0m_1), (L+ ++, 
Un'involuzione, parziale o totale, « relativa a 72» contiene quelle relative ai sum- 
multipli di 7. Se l'ordine supera 2, due punti doppî e due archi doppî sono ima- 
ginari. 
In un'involuzione parziale d'ordine #m>2 relativa a (9, G), se 0,, O; indicano il 
punto G.g@; e l'arco g. GS, (00,01) +. -, 0m-1) è ciclo in un'involuzione d'ordine 72 su 
G, € (00,01, -..., Om=1) ciclo in un'involuzione d'ordine 72 intorno a g. Detti « armonici 
dei diversi ordini » di un £ rispetto a (00, ---, ©m-1) gli armonici di £G, e dualmente, 
si ottengono subito varie proprietà, applicando le già conosciute per forme di 1% specie. 
In un'involuzione totale d'ordine m>2, i cicli di punti e di archi appartengono 
a coniche tangenti E,F in e,f, elementi doppî imaginarî. Detti ', a” « armonici fra 
loro di un certo ordine rispetto a un ciclo » se gli archi che li proiettano da e, f 0 g 
son tali rispetto agli archi proiettanti il ciclo, e dualmente, si ha: gli armonici di 
un punto di ordine 7< rispetto a un ciclo variabile formano un'altra involuzione 
totale di ordine x con gli stessi punti doppî della proposta; se m' = m"=wm e @' 
è armonico di ordine 7 di w” rispetto a un ciclo della proposta, viceversa sarà o” 
armonico d'ordine 72” di ' rispetto a quel ciclo; gli armonici de’ diversi ordini di 
un punto, rispetto al gruppo de' suoi armonici di ordine 7 presi rispetto a un ciclo 
della proposta, sono armonici anche rispetto a questo ciclo; e due armonici dello 
stess'ordine di due altri punti, rispetto a un ciclo variabile, descrivono due sistemi 
equianarmonici aventi gli stessi elementi doppî della proposta involuzione. Dualmente 
per gli archi. 
Circa due sistemi omografici in generale, l’autore osserva che la curva passante 
pei punti omologhi consecutivi @o, ©1,... ha l'equazione (#:20) 5 (4:y0) ? (2:20) Î= 1, 
ove é = log —logy,...; che essa non muta mentre @, si muove su di essa; che, 
se sussiste una relazione ZÉ + un + »$=0 con Z,u,v interi, l'equazione del luogo 
diviene (2:20) °° (Yiy0) "> (6:82) = 1, che è algebrica; che in particolare, se due 
punti consecutivi d'ordine qualsiasi sono su una conica per due punti doppî e ivi 
tangente due archi doppî, vi saranno tutti i consecutivi di ciascuno di quelli (p. e. nel- 
l'involuzione totale). E dualmente. 
Circa due sistemi eterografici, si ha 
sen E @wy;_ 
sen e. 
sen E° 
= 0A 0 NA 
ob AVER Vv = ——_-—!i 
b° br Sen e; 
e però, se "= =# »%, si ha involuzione d'ordine 272 o 47 per due sistemi consecutivi 
d’ordine 272; e se u?+! — y°#+1, si ha involuzione d'ordine 47m +2 per due si- 
stemi consecutivi di ordine dispari (i quali sono eterogratici). 
Ho già anteriormente osservato che la teoria delle involuzioni d’ordine superiore 
(o proiettività cicliche) nelle forme di seconda specie, come in quelle di prima, fu 
