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Lavori sui complessi di rette. 
Ai complessi di rette si riferiscono i seguenti lavori: 
Intorno ai sistemi di rette di prim'ordine. Nota (Rend. Napoli, 1866, fasc. 6.). 
Intorno ai sistemi di rette di secondo grado. Memoria (Atti di Napoli, III, 
1866). 
Intorno ai sistemi di rette di grado qualunque. Memoria (Atti di Napoli, 
IV, 1868). 
Nell'anno 1865 il Pliicker fece la prima comunicazione intorno ai « complessi » 
di rette nello spazio, enunciando alcune proprietà generali dei complessi, delle con- 
gruenze e delle rigate da essi originate, nonchè alcune proprietà particolari dei com- 
plessi e delle congruenze lineari. i 
Primo a seguirlo nel nuovo fecondo campo di ricerche fu il Battaglini, il quale 
non soltanto dimostrò le proprietà enunciate da lui, ma molte ne aggiunse relative 
ai complessi di 2° grado (1866), e poscia anche a quelli di grado qualsiasi (1868). 
Secondo il Pliicker, le dimostrazioni dovevano esser condotte con lo strumento delle 
« coordinate di una retta nello spazio », che egli aveva introdotte come una concezione 
sua prop ria; ma il Battaglini, prima di servirsi di esse, diè loro una forma più gene- 
rale, omogenea e simmetrica, definendole come i determinanti della matrice delle coor- 
dinate omogenee di una coppia di punti o di piani individuanti la retta. Più tardi 
si riconobbe che già il Cayley (1859) aveva adoperati questi determinanti, con lo 
scopo di rappresentare mediante una sola equazione qualunque curva dello spazio. 
Morto intanto l'illustre fondatore della teoria dei complessi, fu pubblicata nel 1868 
a cura del Clebsch la 1* parte della sua opera « Newe Geometrie des Raumes », € 
nel 1869 a cura del Klein la 2* parte. Il Clebsch nella prefazione alla 1% parte 
citò i due primi lavori del Battaglini, per dichiarare che il Plicker aveva trovato 
da sè i risultati sui complessi di 2° grado già pubblicati dal nostro autore: ma non 
è perciò meno da ammirare la prontezza con cui questi si era impossessato dei concetti 
del Plicker; la maestria che addimostrò nell'uso delle coordinate della retta, dopo 
averne perfezionata la struttura; la rapidità ed eleganza dei calcoli e delle formole, 
che al certo non si riscontrano nell'opera del Plicker. Ed al nostro autore spetta 
altresì il gran merito di essere stato il primo a recare sistematicamente e largamente 
nelle ricerche sui complessi il potente sussidio della teoria delle forme algebriche; 
al qual merito si aggiunga quello di essere stato il primo a introdurre nello studio 
dei complessi la notazione « ombrale » o « simbolica », che il Clebsch poscia (Math. 
Ann., 1869) perfezionò, rendendo i simboli più snodati e più atti al passaggio da 
formole in coordinate di rette a quelle in coordinate di punti o di piani. 
Il Klein nella prefazione alla 2 parte della Neue Geometrie dichiarò di aver 
preso cognizione della ricca Memoria del Battaglini sui complessi di 2° grado, 
ma di non aver potuto tenerla come norma nell’elaborare l'opera del Pliicker, poichè 
il Battaglini aveva assunto come equazione semplificata di un complesso di 2° grado 
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