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un'equazione che presupponeva una duplice particolarizzazione del complesso; circo- 
stanza, sulla quale il Klein si proponeva di ritornare. Ed infatti egli provò la censura 
mossa al Battaglini mediante la sua Dissertazione inaugurale « Veber die Transfor- 
mation der allgemeinen Gleichung des sweiten Grades zwischen Liniencoordinaten 
auf eine canonische Form» (Bonn, 1868). Ma, sebbene il nostro autore avesse posto 
a base dello studio dei complessi di 2° grado un’ equazione che non rappresenta il 
più generale complesso di quel grado, pure è giustizia convenire che i suoi ragiona- 
menti (eccetto quelli concernenti la superficie singolare, che per lui è il tetraedroide), 
valgono anche pel complesso più generale, non dipendendo dalla forma dell'equazione; 
e del resto anche gran parte delle sue formole si adattano al complesso più generale 
con lievi modificazioni. 
Insomma, il nome del Battaglini non potrà venir pretermesso da chiunque 
voglia scriver la storia della teoria dei complessi; e ciò non solo a cagione del par- 
ticolare complesso di 2° grado cui quel nome è oggidì attribuito, ma anche a ca- 
gione del contributo recato alla teoria generale. 
Poichè la via lunga mi sospinge, io non darò, come per altre scritture del Bat- 
taglini, un sunto di queste sui complessi; rimandando a quello che della 2% e 3% 
diede egli stesso (Rend. Napoli, 1886 e 1868). Mi basta notare che, rispetto ai com- 
plessi quadratici, egli considera, oltre i coniî e le coniche e le superficie « meridiane » 
o « equatoriali » del complesso, anche la quadrica luogo di un punto le cui congiun- 
genti a due punti fissi siano coniugate rispetto al cono corrispondente al punto, e la 
superficie di 3° ordine luogo delle coppie di rette passanti per un punto mobile di 
una retta fissa e giacenti su quella quadrica che nel modo suddetto corrisponde al 
punto mobile e ad un punto fisso della retta fissa. Insieme a questi due luoghi 
considera del pari i due inviluppi loro duali. 
E rispetto ai complessi superiori, accennerò che il nostro autore, assunta l’equa- 
zione or come potenza di una forma lineare simbolica, or (più arditamente) come pro- 
dotto di distinte forme lineari simboliche, trae abilmente dalla considerazione del 
discriminante di una forma binaria una rappresentazione dei coni del complesso come 
inviluppi e delle curve come luoghi; che parimente del risultante di due binarie si 
serve per determinare le rette comuni a due complessi ed appartenenti a un punto o 
piano, e dal risultante di tre binarie deduce l’equazione della rigata comune a tre 
complessi. In seguito gli emananti di una forma ternaria forniscono la rappresenta- 
zione dei coni armonici di diversi ordini rispetto ai coni del complesso; e gl’inva- 
rianti lineari ne coefficienti di due binarie o di due o tre ternarie di egual grado 
conducono al cono che seca i coni corrispondenti al suo vertice in due complessi di egual 
grado secondo gruppi di rette coniugati armonici, ed anche alle relazioni fra’ punti i cui 
coni nei due complessi siano armonici, ed alla superficie luogo di un punto i cui coni in 
tre complessi di egual grado siano armonici fra loro. Per tre complessi di grado pari 
e coincidenti in uno l’ultima superficie ancora sussiste; anzi pel complesso quadratico 
essa diviene la superficie singolare, la quale così appare come prima di una famiglia 
di superficie: tal’ è infatti giusta l’ estensione del concetto di superficie singolare 
data dal Pasch. 
Infine sono discusse: la serie dei coni corrispondenti ai punti di una retta in 
