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Osservando che il rapporto anarmonico sezionale di certe coniche nei due piani 
risulta lo stesso, riesce ad emanciparsi dalle quadriche operando soltanto nei due 
piani. In questa trasformazione sono eguali i rapporti anarmonici sezionali cui dànno 
luogo coniche corrispondenti; proprietà, che corrisponde alla conservazione degli angoli 
nella affinità circolare del Mòbius. 
Sulla Geometria protettiva. Memoria I (Atti di Napoli, VI, 1873). 
Il Battaglini sì propose di stabilire le proprietà proiettive delle figure con un 
metodo diverso da quello di v. Staudt, giovandosi del concetto delle « reti geome- 
triche » esposto dal Mébius nel Barycentrisehe Calcil. Egli prescinde da ogni ipo- 
tesi circa l'infinito dello spazio, in modo che i risultati possano applicarsi alle tre 
Geometrie dette dal Klein « ellittica, iperbolica, parabolica ». 
In questa prima Memoria considera le proprietà di posizione. 
Siano 4 d c tre punti non di una retta: essi determinano tre rette f= de, 
g==ca, h= ab, e un piano P. Sia po un quarto punto di P: le rette pod, Pod , 
pc secano f g h in tre nuovi punti 40 do 6, i quali determinano tre nuove rette 
DoCo 3 Collo, dolo, che secano / 9g h in tre nuovi punti 4° 5° c°, appartenenti (come 
sì proverà poi) a una retta R°. Le rette così ottenute si secano in nuovi punti, e questi 
individuano nuove rette, e così via, formando così una « rete geometrica ». L'autore 
asserisce potersi ogni punto p di P intendere individuato costruendo con una certa legge 
una rete geometrica, per modo che, partendo da quattro punti fondamentali 4 d e po, 
sì pervenga, mediante una serie finita o infinita di costruzioni di rette per due punti 
e punti di due rette, al punto proposto; ma non mi pare che la brevissima dimo- 
strazione che accenna sia sufficiente. La medesima asserzione si trova nel M6hius, 
ma ampiamente giustificata coll’ attribuire ai singoli punti dei « pesi »; mentre il 
nostro autore ha voluto emanciparla da ogni corrispondenza fra punti e numeri. 
Ogni retta di P sarà poi individuata da due punti. 
Dualmente si ha una rete geometrica per la stella. 
Nello spazio, analogamente, cinque punti dànno origine a una rete geometrica 
per individuare i singoli punti; e così pure cinque piani per individuare i piani. 
Una retta verrà individuata da due punti o due piani, e così via. 
Due reti sono o « omografiche » o « duali », quando gli elementi iniziali si 
assumano a due a due corrispondenti, e corrispondenti si assumano due elementi 
dedotti da essi col procedimento esposto, operando sempre su elementi corrispondenti, 
omonimi o no. 
La suaccennata retta R° (di cui si prova l’esistenza) e il punto go son definiti 
« armonici » rispetto ad «dc, ed analogamente si definiscono una retta e un piano 
« armonici » nella stella, un punto e un piano « armonici » nello spazio. 
Sulla Geometria protettiva. Memoria II (Atti di Napoli, VI, 1874). 
Scopo del lavoro è stabilire i principî con i quali si possa trattare analiticamente 
la Geometria proiettiva. 
Essendo lo spazio una varietà triplamente infinita di punti o di piani, e tale 
essendo anche la varietà dei valori che possono attribuirsi a una terna di numeri 
CLASSE DI SCIENZE FISICHE ecc. — MemorIE — Vol. I, Ser. 5°. 75 
