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Da ultimo sono esposte le proprietà delle figure omografiche in relazione all’assoluto. 
‘La « metrica proiettiva » è rimandata ad altro lavoro, il quale non fu poi pub- 
blicato. 
Dai cenni che precedono apparisce che lo scopo propostosi dal Battaglini in 
queste tre Memorie era di disciplinare cose già note, coordinandole al concetto delle 
reti geometriche del Mòbius. Ho notato quali punti della trattazione avrebbero bisogno 
di esser più solidamente stabiliti. In recenti lavori sui fondamenti della Geometria 
proiettiva essi sono stati da parecchi geometri studiati con la diligenza che il delicato 
argomento esige. 
Lavori sui connessi. 
Sui connessi ternariî di 2° ordine e di 2° classe in involuzione. Nota (Atti 
di Napoli, VIII, 1879). 
Il connesso generale (2,2) nel piano fu studiato dal Clebsch pel primo anali- 
ticamente, e fu poscia costruito da Armenante e da Peano; ma qui si tratta di 
un particolare connesso, di quello cioè la cui equazione può ridursi alla forma 
a+ Por go = 0 (essendo D,=0,D,=0 le equazioni di due coniche-luoghi e 
pa=0,g,= 0 di due coniche inviluppi), e che il Battaglini dice « in involuzione 
semplice ». Siccome l'equazione risulta dall’eliminare Z:w fra XD-+4 u®, = 0, 
upa— 9g, = 0, così lo studio del connesso si riduce sostanzialmente a quello delle 
relazioni fra un fascio e una schiera di coniche proiettivi fra loro: a un punto qua- 
lunque di una conica del fascio va accoppiata una tangente qualunque della conica 
corrispondente nella schiera, per comporre un « elemento » del connesso; salvo i 
punti base del fascio cui può accoppiarsi ogni retta, e le rette base della schiera 
cui può accoppiarsi ogni punto. 
A una ® del fascio corrisponde (in un'altra proiettività) una % della schiera 
che è armonica con essa; e queste coppie di coniche formano un altro connesso, che 
è detto « delle linee armoniche ». Il primo connesso possiede due coppie di coniche 
@, p comuni col secondo; le ®, g che nel primo corrispondono a due , ® corrispon- 
dentisi nel secondo formano un terzo connesso, « associato » al primo. 
Il proposto connesso è « ciclicamente proiettivo secondo 2» o « in involuzione di 
grado % », se, prendendo di una ® l'armonica g, di questa la @ corrispondente nel 
connesso, di questa la 4 armonica, e così via per x volte, la (24 1)M® ® coin- 
cide con la prima; e lo stesso sarà delle g. 
Nel proposto connesso la « locale singolare » (dei punti le cui g degenerano in 
due punti) consta di tre coniche del fascio. Quelle ® su cui i punti base sono armo- 
nici od equianarmonici son date dai covarianti di una certa cubica binaria. Vi è un 
connesso (4,4), nel quale ciascuna retta fa elemento con l'insieme delle due coniche 
le cui corrispondenti ® toccano la retta. 
Una « coincidenza » del connesso proposto ha per elementi un punto fisso 
insieme alle singole coppie di tangenti da esso condotte alle g, e il luogo dei contatti 
di queste è di 6° ordine; ecc. 
