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3. — Caso di una sfera isotropa. 
Il secondo esempio è il seguente: calcolare il peso di una sfera elastica isotropa 
di dimensioni molto piccole rispetto ai raggi di curvatura dello spazio. Anche ora 
conviene naturalmente cercare prima l'energia totale elastica della nostra sfera. 
Consideriamo perciò, accanto allo spazio S di metrica (2), anche uno spazio 
euclideo S' e supponiamo che la mostra sfera successivamente sia distesa in posi- 
zione di riposo in S'; e poi posta in S. 
Riferiamo lo spazio S' a coordinate cartesiane ortogonali (£ , 7, $) con centro nel 
centro della sfera. Siccome poi tra i punti di S e di S' vi è corrispondenza biunivoca 
(facendo corrispondere quelle coppie di punti che sono occupate dalla medesima par- 
ticella della sfera elastica), potremo riferire anche lo spazio S alle coordinate SImiGr 
Osserviamo poi che, per la approssimazione introdotta, alle tre direzioni principali 
ortogonali di curvatura dello spazio S, relative al centro della sfera, corrisponderanno 
in S' tre direzioni, pure ortogonali, che potremo prendere per direzioni degli assi 
coordinati. L'elemento metrico di S sia ora riferito al nuovo sistema 
(23) dist = (LL H- Pun) dE° 4 (1 H- Ba2) dn? +- (1 H- Pa3) dé 4 
+ 2 B23 An dé + 2 Pax dé dé 4- 2 Be dé da 
dove le # saranno molto piccole. Possiamo svilupparle in serie delle &£ n 6, ferman- 
doci ai termini quadratici. Osserviamo poi che, per le ipotesi fatte, mancheranno in 
questo sviluppo i termini lineari (se vi fossero, infatti, essi permetterebbero di distin- 
guere un senso dall’opposto), e nei termini quadratici mancheranno quelli rettan- 
golari (se vi fossero, infatti, la quadrica ottenuta eguagliando questo termine quadratico 
a una costante avrebbe il triedro principale non coincidente col triedro principale di 
curvatura, ciò che è contro la simmetria). Inoltre in #23, #31, P1, mancherà anche il 
termine costante, perchè, per £ =n=$=0, deve essere #23=f3=f1= 0. 
Così che, in ultima analisi, il nostro sviluppo sarà 
Pau=Yn Dn Se DE Qui n° + Pa 
Ba3= Pa3 E + 423 Uh + #83 (È 
e le analoghe circolando sugli indici. Le y,p 9,7 sono costanti. 
Ora la (9) ci permette di calcolare l’energia specifica W,, e si trova 
Wo= G+ Sl é + SP, 1 4 Sr 7°, 
essendo le G, L,P,7 costanti formate con le y,p,9,7. L'energia totale sarà 
We fi W. dr, esteso a tutto il volume della sfera. 
Ora si ha 
4 mat feat :fapd=s d. 
eee , IS dle = gg TR; Id Sg ls 
di modo che l’energia totale risulta 
(24) 
tut: pi af) (I A BE) dai 
Tea 7 © | Cons; i IO li ar S () 
W= 3708? G477 08? SL pg RISP, 4 gg RS 
