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premesso lo studio di alcune importanti soluzioni particolari della (E), comincio a 
stabilire questa circostanza nel caso preliminare di un contorno chiuso svolgentesi 
nel semipiano ellittico ma di cui una parte sia costituita da un segmento dell’asse @, 
che è la curva attraversando la quale l'equazione cambia tipo. 
Ciò premesso, ricavo una fondamentale relazione involgente le due funzioni #() 
e v(.7) costituite dai valori assunti sull'asse x, rispettivamente da una soluzione 
qualsiasi # della (E) e dalla sua derivata rispetto ad y. Indi, associando a questa 
una consimile relazione già ottenuta durante la dimostrazione del teorema di uni- 
cità, pervengo ad un'equazione integrale in »(x), la cui inversione è problema equi- 
valente a quello della determinazione delle eventuali soluzioni della (E) soddisfa- 
centi alle condizioni al contorno di cui nel teorema di unicità. Tutto sta dunque 
a far vedere che questa equazione è risolubile, e a ciò provvedono gli ultimi due 
Capitoli, nel primo dei quali essa viene ridotta ad un'equazione di Fredholm di 24 
specie singolare (invece di un integrale ordinario, c'è un integrale divergente, di cui 
si considera il valor principale nel senso di Cauchy) la cui risoluzione forma l’og- 
getto dell'ultimo Capitolo. 
Riguardo ai metodi adoperati, mi permetto di richiamare qui l’attenzione sol- 
tanto sul procedimento con cui (nel Cap. IV) ho dimostrato il teorema di esistenza 
per uno speciale contorno chiuso, in parte costituito da un segmento dell’asse 4. 
Infatti tale procedimento, fondato sullo sviluppo delle funzioni arbitrarie costituite 
dai valori prefissati nel contorno, in serie di soluzioni particolari dell'equazione diffe- 
renziale, fornisce la soluzione richiesta sotto una forma insolitamente semplice. 
Inoltre credo che potrà presentare interesse, anche intrinseco, la discussione appro- 
fondita che, dell'equazione di Fredholm singolare, ho fatto nei primi $$ dell’ultimo 
Capitolo. All'uopo si consideri che essa mi ha permesso, come trovasi notato a suo 
luogo, di colmare una grave lacuna lasciata da un Autore francese che di recente 
sì era occupato di equazioni di quella sorta. 
Finalmente tengo a dichiarare che nel Cap. I, data la particolare natura della 
questione in esso trattata, a diversità di quanto ho fatto sempre nel seguito, non 
ho creduto di dovermi soffermare ad un esame approfondito delle eventuali singola- 
rità che possono presentarsi nelle funzioni considerate. Non devesi però equivocare 
sul vero carattere del risultato cui lì pervengo, e cioè che un'equazione di tipo misto 
qualsiasi può gereralmente, con sostituzioni reali, ridursi alla forma canonica adot- 
tata. In altre parole, non intendo escludere che in casi particolari sì possano pre- 
sentare, in tale riduzione, delle difficoltà da esaminarsi volta a volta. 
Un brevissimo cenno dei principali risultati conseguiti in queste ricerche è stato 
già pubblicato in una Nota dallo stesso titolo (1). 
(1) Rend. R. Acc. dei Lincei (5), XXX-2 (2° sem. 1921), pp. 495-498. 
