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CAPITOLO PRIMO 
Riduzione delle equazioni di tipo misto a forma canonica. 
$ 1. — Consideriamo un'equazione lineare alle derivate parziali di 2° ordine, 
a due variabili indipendenti x ed y, della forma più generale 
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dove A, B,..., G sono certe funzioni date di x ed y. 
Interpretando, come di consueto, @ ed y quali coordinate cartesiane dei punti 
di un piano rispetto ad una certa coppia di assi ortogonali, è ben noto come, nello 
studio dell'equazione (1), assumano fondamentale importanza le curve rappresentate 
dall’equazione differenziale 
(2) Ady° — 2Bdax dy 4 Cda*= 0 
che, risoluta rispetto a dy/de, si scinde nelle due 
À dy —B+ WBECSAG dy — B—4/B° AC 
8) da A da TT A 
Siffatte curve diconsi caratteristiche (*) dell'equazione; esse sono distribuite in due 
sistemi c0!, corrispondenti ciascuno ad una delle (3), tali che per un punto gene- 
rico del piano passa una, ed una sola, curva del sistema. 
Ponendoci dal punto di vista delle funzioni di variabili reali e supponendo che 
ì coefficienti A, B,...,G siano sempre reali nel campo che si considera, sono ora 
manifestamente da distinguersi tre casi circa la realità o meno delle caratteristiche, 
nell'intorno di un punto determinaio del piano x,y, e cioè: 
1°) B* —- ACK0.. Allora entrambe le caratteristiche sono immaginarie e 
l'equazione si dice di tipo ellittico. 
2°) B* —AC>0. Allora le due caratteristiche passanti pel punto sono reali 
e distinte, e l’equazione si dice di tipo iperbolico. 
8°) B*—AC=0. Allora le due caratteristiche sono reali e coincidenti e 
l'equazione si dice di tipo parabolico. 
Però, allorchè l'equazione non si considera in un sol punto, ma in un certo 
campo, questi tre tipi, quantunque siano i soli finora studiati, non esauriscono la 
(1) Per la teoria delle linee e varietà caratteristiche, nonchè per l’estensione del concetto di 
esse alle equazioni non lineari e di ordine superiore al secondo, ved. E. Goursat, Legons sur l'in- 
tegration des équations aux dérivées part. du second ordre (Paris, Hermann, 1896-98), e J. Ha- 
damard, Zegons sur la propagation des ondes ete. (Paris, Hermann, 1903), Cap. IV e VII e Nota IL 
