— 143 — 
Fra queste equazioni si elimina immediatamente la xs derivando la prima rispetto 
ad y:, la seconda rispetto ad #,, e sottraendo i risultati; si perviene così all'equa- 
zione unica 
d es | d [ e 
PA NGI SI EEE) 
da: dI dX) sr dY1 p dYi 
che, sviluppata, fornisce finalmente l'equazione di 2° ordine in @: 
dip 
dg 
net 7 4 LL F * 
(17) i dI, 
dove F simboleggia una funzione rasionale dei tre argomenti, che può calcolarsi 
| esplicitamente senza veruna difficoltà. 
$ 4. — Determinata che sia una funzione reale 4 soddisfacente alla (17), 
la (15) fornirà subito y»; e quindi le (16), con semplici quadrature, forniranno x», 
e i valori di queste due funzioni risulteranno reali al pari di g. 
Pertanto, tutto è ridotto a mostrare che l'equazione di 2° ordine (17) ammette 
degli integrali reali. Noi dimostreremo ciò, facendo vedere come il problema di 
Cauchy relativo all’equazione (17), cioè il problema della determinazione della su- 
perficie integrale di essa passante per una data curva analitica c e tangente ad una 
sviluppabile S, del pari analitica, passante per la curva, supposti i dati reali, può 
risolversi senza alcuna introduzione di immaginarî. 
Com'è noto (!), per dimostrare la risolubilità del problema di Cauchy (nel 
campo analitico), si comincia col far vedere che, risolvendo dei successivi sistemi 
ottenuti associando all'equazione differenziale proposta e a quelle desunte da essa 
con delle derivazioni, le equazioni ricavate derivando successivamente quelle che 
rappresentano parametricamente la curva c e la sviluppabile S; è possibile calco- 
lare i valori in un punto O di c delle derivate di qualsiasi ordine della soluzione 
di cui occorre provare l’esistenza. Successivamente si fa vedere come, calcolandone 
i coefficienti per mezzo dei valori trovati, lo sviluppo in serie di potenze, riferita al 
punto 0, della soluzione in discorso, ha un campo di convergenza non nullo, epperò 
rappresenta una soluzione effettiva dell'equazione, che soddisfa alle condizioni imposte. 
Evidentemente la condizione necessaria e sufficiente, affinchè questa soluzione 
sia reale, è che siano reali i coefficienti dell’accennato sviluppo in serie, cioè che 
siano reali i valori trovati per le varie derivate nel punto O. Ora i successivi si- 
stemi, mediante i quali esse vengono calcolate (ad eccezione del primo: quello che 
fornisce le derivate di secondo ordine) (*), sono tutti lineari, epperò nella loro riso- 
luzione non s’introducono immaginarî; dunque, supposti reali î dali, la condizione 
(1) Cfr. Goursat, Zeg. cit., Cap. I, $$ 16 e 17 (t. 1°, pag. 24 e seg.). 
(2) I valori delle derivate prime sono dati @ priori, essendo data la sviluppabile S che è 
tangente in O alla superficie integrale da determinare, 
