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denza algebrica di indici 1,2, poichè la potenza di esponente È, contenuta in quelle 
formule, implica un'indeterminazione di segno; e precisamente ad un punto del 
piano x,y corrispondono due diversi punti del piano £,, simmetricamente situati 
rispetto all'asse £. Noi però potremo limitarci a considerare uno solo dei due semi- 
piani determinati dall'asse È, p. es. il semipiano superiore (7 > 0), e allora la 
corrispondenza in discorso potrà riguardarsi come biunivoca. Ciò s'intenderà tacita- 
mente fatto sempre, nel seguito. Analoga osservazione vale per la sostituzione (28). 
$ 7. — Per poter procedere oltre nello studio delle equazioni di tipo misto, 
è opportuno a questo punto abbandonare l'equazione generale (21) e limitarsi a con- 
siderare l'equazione particolare (E) di cui si è già accennato nell’ Introduzione. Essa 
ci si presenta ora in un modo del tutto spontaneo, non essendo altro che /a parte 
di 2° ordine della (21) uquagliata a zero. Veniamo così ad imitare perfettamente 
il processo di sviluppo storico della teoria delle equazioni ellittiche che, per un primo 
e non breve periodo, si limitò allo studio dell'equazione di Laplace: 4,3=0, cioè 
dell'equazione ottenuta uguagliando a zero la parte di 2° ordine della (4), vale a dire 
di un'equazione cui può ricondursi ogni altra di tipo ellittico. 
È pertanto da aspettarsi che, similmente a quel che succede nel caso delle 
equazioni ellittiche, anche qui le proprietà, che nella presente Memoria saranno sta- 
bilite per l'equazione (E), continueranno generalmente a valere, almeno #7 piccolo, 
cioè per contorni sufficientemente ristretti, anche per le equazioni miste generali. 
Sotto qual forma si presentano le ridotte ellittica ed iperbolica della (E)? Nel 
caso in esame si ha a=ò>=e=4=0: conseguentemente, per le (27) e le (30), 
avremo pure 
e 105= CH 105==10) e di 0000 
epperò la ridotta ellittica si scriverà semplicemente 
d*8 DEz i de 
i SITA o 
(E) DE dn? ue 37 dI 0, 
mentre la ridotta iperbolica sì scriverà 
d°z 1/6. ( èd4 EIÀ 
E Pe | —)\=o. 
(Bo) dem E-n\DE mM Li 
Quest'ultima non è altro che un'equazione di Eulero-Poisson nel caso di 8 = 
= =1/6 ('); questa circostanza è della più fondamentale importanza per quanto 
seguirà. 
(4) Ved. G. Darboux, Zecons sur la théorie gén. des surfaces ete., 2° édit. (Paris, Gauthier- 
Villars, 1914-15) p. 22, liv. IV, Cap. III (t. II, pag. 54 e seg.) 
