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CAPITOLO II. 
Il teorema di unicità. 
$ 1. Consideriamo la nostra equazione differenziale 
(E) Yoga ii 
e siano A e 3 1 punti in cuì le due caratteristiche uscenti da un punto qualsiasi C 
del semipiano iperbolico vanno a finire sull'asse delle 7. Sia poi o una curva qual- 
siasi, avente lo stesso grado di generalità di quelle che costituiscono ì contorni con- 
siderati nella teoria delle equazioni ellittiche, la quale congiunga A con B senza 
uscir mai dal semipiano ellittico. Dico allora che: 
Nel campo compreso fra o, AC e (B non può esistere più di una solu- 
zione regolare (*) dell'equazione (E), assumente valori assegnati, con legge di 
continuità, sopra o e sopra uno dei due pezzi di caratteristica AC e BC, per 
esempio su AC. 
Per dimostrare il teorema enunciato, conveniamo anzitutto, per comodità di no- 
tazioni, di scegliere come origine delle coordinate il punto A, come verso positivo sul- 
l’asse x quello da A verso B e come unità di misura la lunghezza del segmento AB. 
Queste convenzioni le rispetteremo costantemente nel seguito. In conseguenza di ciò 
i valori assunti su AB da una soluzione qualsiasi 2 della (E), della categoria indicata 
nell'enunciato, costituiranno una certa funzione finita e continua (x) definita nell’in- 
(*) Diremo che una funzione è regolare in un certo campo se essa è sempre finita e continua 
in questo (contorno incluso) e così pure le sue derivate di prim'ordine (contorno escluso). Qui però 
occorre supporre inoltre che se ds/dy tende ad % avvicinandosi indefinitamente al A 0 a B, 
l'ordine di questi infiniti sin minore di 5/6. 
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