= e 
da cui, facendo y=0, segue 
= (gf aa, 
epperò sarà 
IR 
4) dUa=- (i) PR. 
Se ne conclude che il valore di 2, in un punto qualsiasi (x,y) del triangolo misti- 
lineo ABC, può esprimersi con la formula 
(5) = fee + x (a DE (Qi 1) | > (1 5 di 5 
2 ani 
+(3) Prof | 243 (o ee ]C* (1-0) “de, 
essendosi posto 
_ DO) ea __(8\2 T(5/8) VI° (1/8) 
SO ITA. n= (1) ECO 
$ 2. — L'importanza della (5) apparisce subito considerando che il suo secondo 
membro, qualunque siano le funziori (x) e »(x), purchè finite e continue (o anche 
con dei punti d'’infinito ma di ordine rispettivamente minore di 1/6 e 5/6), definisce 
nel A ABC una soluzione regolare della (E) che per y= 0 si riduce a (x), mentre 
la sua derivata rispetto ad y si riduce a v(x). Dunque esiste sempre in ABC una 
soluzione regolare della (E) assumente, assieme colla sua derivata parziole rispetto 
ad y, valori arbitrariamente fissati sul segmento AB. In altre parole, malgrado 
che il segmento AB sia sul limite del campo in cui l'equazione (E) è di tipo iper- 
bolico, dando su di esso le condizioni di Cauchy, esiste, in un campo limitrofo, 
una soluzione della (E) che vi soddisfa. 
Vogliamo ora completare il risultato ottenuto, dimostrando che /a soluzione în 
discorso è unica: cioè, riferendoci alla ridotta iperbolica (Es), il che fa lo stesso, 
vogliamo far vedere che, desti rispettivamente A',B',('" i punti corrispondenti 
ad A,B,C nel piano E,n (i); nel triangolo (rettilineo) A' B'C' non può esistere 
più di una soluzione regolare dell'equazione (E>) assumente, assieme colle sue 
derivate prime, valori prestabiliti sul segmento A'B' (?). 
(1) Si tenga presente l’osservazione fatta in fine del $ 6 del Cap. I. Qui, dei due semipiani 
determinati nel piano É, 7 dalla retta È =, corrispondente della curva parabolica, co: sidereremo 
quello in cui è 7> É. 
(2) Nel Darboux (loc. cit.) si dimostra che la (1) rappresenta tutte le soluzioni regolari della 
equazione (E,) in corrispondenza alle varie scelte delle funzioni (x) e (x). dal che segue sen- 
z'altro la propositione enunciata. Però, considerata l’importanza capitale di questa per quanto se- 
guirà, riteniamo non inopportuno aggiungere la seguente dimostrazione diretta di essa. 
Osserviamo inoltre che qui occorre manifestamente supporre che le derivate prime siano con- 
tinue anche sul segmento A’B'. 
