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Essendo < una soluzione della (E), avremo identicamente, qualunque sia il campo 
d'integrazione, 
{fe DI Z| CANTI) 
WE dr 
cioè, com'è facile verificare, 
3 D da \} CANE 
if sl Di "ln sl i) _ Yy (È) — (Sì) Je dgy=0 
) da dx dwy\ dy dx WY, 
Intendiamo ora estesa l'integrazione al campo S compreso fra la curva o ed 
il segmento AB dell'asse x, ed applichiamo il primo lemma di Gauss, il che è 
lecito; avremo così, indicata con 7 la direzione della normale a o rivolta verso 
l'interno di $, 
, | , È | =) ala Si da dy 4 
i SUI ANI DN 
sin | & (7 8 dr D) Y ) do + f (4) r(Z) da (|) 
dr da _dY di, "5 
cioè, annullandosi # su 0, 
da\ (24 CA E RO 
(28) Se ! (F) [ara E) t(1)va)de =0. 
Ma l'integrale esteso fra 0 ed 1 non è altro se non l'integrale indicato con I nel 
paragrafo precedente, epperò, essendo 5 = 0 su AC, esso è positivo o nullo; dunque 
l'uguaglianza (28) è assurda, perchè la somma di una quantità essenzialmente posi- 
tiva, qual’è l'integrale doppio, se 3 non è identicamente nulla in S, e di una non 
negativa non è mai zero. 
Se ne conclude che z deve essere di necessità identicamente nulla in S, epperò 
anche nel triangolo mistilineo ABC, in virtù di quanto è stato dimostrato nei $$ 2 e 3; 
e ne segue il teorema. 
Si noti che il ragionamento svolto nel presente paragrafo permette di conclu- 
dere, indipendentemente da ogni considerazione precedente, che 2 deve essere neces- 
sariamente nulla in S allorchè essa, oltre ad annullarsi nella curva o, si annulla 
su AB, oppure se, su questo medesimo segmento, si annulla la sua derivata rispetto 
ad y. Infatti, in entrambi questi casi, il primo membro della (28) si riduce al solo 
integrale doppio il quale non è zero se non quando 2 è identicamente nulla in S. 
Può dunque enunciarsi che: 
Nell’interno del contorno chiuso, costituito dalla curva o e dal segmento AB 
dell'asse x, non può esistere più di una soluzione regolare della equazione (E) 
assumente valori assegnati su tutto il contorno, oppure assumente valori assegnati 
sulla curva o e tale che la sua derivata rispetto ad y ussuma valori assegnati 
sul segmento AB. 
Si noti infine come la prima parte di questa proposizione continui evidente- 
mente a valere anche nel caso in cui il contorno non sia più in parte costituito da 
un segmento dell’asse x, ma sia invece /ulto compreso nel semipiano ellittico. 
