CAPITOLO III. 
Studio di alcune classi di soluzioni particolari dell'equazione (E). 
$ 1. — Allo scopo finale di pervenire all’inversione del teorema dimostrato 
nel precedente Capitolo, cioè di dimostrare l’esistenza della soluzione di cui esso 
assicura l'unicità, ci proponiamo nel presente Capitolo di determinare e studiare 
due classi di soluzioni particolari, singolarmente importanti, dell'equazione differen- 
ziale (E). 
All'uopo cominciamo coll’indagare, seguendo il metodo così spesso usato in 
Fisica matematica, se è possibile soddisfare all'equazione ponendo 3 = XY, dove X 
denota una funzione della sola x, ed Y una funzione della sola y: Operando la sosti- 
tuzione, sì ha 
YX'YHXY"=0 
che può scriversi 
affinchè l'equazione sia soddisfatta, occorre dunque, e basta, che questi due rapporti 
abbiano un valore costante comune. Indichiamo con % questo valore costante; avremo 
allora, per determinare X ed Y, le due equazioni differenziali ordinarie 
d°X CA 
(1) Tago dt IO: 
d°Y 
(2) ron RE 
delle quali la prima sì integra immediatamente ottenendo 
(3) X= 0; cosf/k a + 0: sen Vka, 
dove €, e Cs sono due costanti arbitrarie. 
Invece l'integrale generale della (2) non è esprimibile mediante funzioni ele- 
mentari, epperò lo studio della funzione Y richiederà delle considerazioni un po' più 
elevate. 
Cominciamo intanto col porre in luce il modo con cui Y dipende dalla costante £, 
il che è molto agevole. Precisamente basterà operare il cambiamento di varia- 
bile £=%" y, col quale la (2) si muta nell’altra equazione 
d°Y 
e deh = 
(4) a 
