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Che si tratti di due soluzioni effettive e non soltanto formali, è facile persuà- 
dersi determinando il raggio di convergenza delle due serie che si constata non essere 
nullo, anzi si trova che esso è infinito, cioè le funzioni R ed S sono due trascen- 
denti intere. 
Infatti, considerando p. es. la serie (7) e riguardandola per semplicità come una 
serie di powenze di £°, avremo che il rapporto fra il coefficiente di (5°) e quello 
di ($*)"+1 è dato da 
(32 + 3)! SII DÌ 
mn sti 219) 209); 
epperò il suo limite per 2 > 00, che è il raggio di convergenza, è infinito. 
Inoltre R ed S sono due integrali linearmente indipendenti perchè, essendo 
evidentemente 
HO= i, f0=0; 0O=09 0) 1: 
il loro wronskiano per & = 0 [e quindi sempre (1) ] è uguale a + 1. 
Ciò premesso, passiamo all'integrazione della (4) per mezzo di integrali definiti. 
Com'è noto (?), in generale, data un’equazione di Laplace di ordine 7 
n° d'y 
> (daga dba) = 
(9) 2. pe @ dn) dal 0, 
se si pone 
P(4) 
n_ n_ È 1 ST 
(= ae, a)= I d po, Me=e=0@ UÈ 
SZ v i ali Y(s) 
dove < denota una variabile complessa, l'integrale generale della (9) può esprimersi 
come una combinazione lineare di integrali della funzione Ze? estesi a dei cappî 
involgenti le » radici dell'equazione w(2) = 0. 
Nel caso in esame, si ha 
Go=e= Uil, A=@ 8, 
e pertanto, volendo riguardare w(z) come un polinomio di 2° grado, le sue radici 
dovranno ritenersi entrambe infinite, il che rende necessaria qualche speciale avvertenza. 
All'uopo cominciamo col far vedere che la condizione necessaria e sufficiente 
affinchè la funzione 
18 = | 16 da= | CANA 2A 
IL QI; 
(1) Infatti, con la formula di Liouville, si può veder subito che il wronskiano di due qual- 
siansi integrali linearmente indipendenti della (4) è necessariamente costante. 
(2) Ved. p. es. Goursat, 7raité d' Analyse (2% ed., Paris, Gauthier-Villars, 1910-'15), Cap. XX-2, 
$ 408 (t. II, pag. 442 e seg.). i 
