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x ° x ; 3 
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— lor — 
Essendo Z e w linearmente indipendenti, R ed S potranno esprimersi per mezzo 
di essi e reciprocamente; precisamente, giovandosi delle (14), si trovano le formule 
1 S 
\ R(é)= SERA IG + y3 10) | 
(15) ! i i 
| S(£) = Lo) EG ia 10) | , 
\ 22(E) = 37° r(5) RE) — 37.1 (È) S(£) 
(16) 
di cui hanno particolare interesse le (16) che permettono di adoperare le convergen- 
tissime serie (7) ed (8) pel calcolo numerico di 4 e w. 
L'aver posto l'integrale generale della (4) sotto la forma (13) ci fa scendere 
molto più a fondo nella conoscenza di quest'equazione rispetto al momento in cui 
di essa conoscevamo soltanto gli integrali R ed S. Invero, laddove le serie che defi- 
niscono queste due ultime funzioni non permettono di scorgere facilmente alcuna 
sostanziale differenza fra di esse, le (12) mostrano a colpo d'occhio la profonda diffe- 
renza che intercede fra il comportamento di 4(®) e (5) allorchè si fa crescere inde- 
finitamente È per valori reali positivi: mentre 4(£) resta sempre finita (anzi ha 
per limite 0, come si vede subito, essendo l'integrale uniformemente convergente), 
la funzione (5) cresce oltre ogni limite. In altre parole, gli integrali particolari 
della (4) sono distribuiti in due classi: una costituita dagli integrali del tipo c (€) 
che tendono a zero per £É >| co, e l’altra costituita dai rimanenti i quali nella 
stessa ipotesi tendono all'infinito. 
$ 3. — Queste osservazioni sono molto importanti per le applicazioni che do- 
vremo fare delle soluzioni particolari (6) dell’equazione differenziale (E). Invero, se 
sì considera una serie formata con queste soluzioni: i 
2 n n n i n 5 
S| 0° cos 22 + CY” sen ne | [cs ? D(n° y) + CO D(nî » | 
n=) 
e non sì suppone che ® e & siano entrambi integrali della prima classe, il fatto 
che la serie converga per y="0 non ci autorizza per nulla ad asserire che essa 
sì conservi convergente per y > 0, poichè allora il secondo fattore del termine ge- 
nerale cresce indefinitamente al crescere di 2. Invece, se ® e P sono integrali della 
prima classe, cioè se sî considera una serie della forma 
(05) 
(17) DI (Ch cos 22 + CS” sen ne) 2(n° 9), 
n=0 
